曲线拟合与预测建模分析两例.docVIP

曲线拟合与预测建模分析两例 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 湖南祁东县一中 曾令军 421600 在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图。 (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或曲线。 (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数的关系式。 (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据。 例1：某国从1790年至1950年人口数据资料： 时间 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 人口(百万) 3.929 5.308 7.24 9.368 12.866 17.069 23.182 31.443 38.558 时间 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 人口(百万) 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 试利用上述资料预测该国1980年的人口数： 分析：假设该国政治、社会、经济环境稳定，而且人口数量是时间连续函数。 [建模求解]以x轴代表年度，y轴代表人口数，建立直角坐标系，描出散点图，观察散点图，可以发现，从1890年以后散点近似分布在一条直线上，而从散点图的整体趋势来看，可以认为散点近似分布在一条抛物线上一部分或近似分布在一条指数曲线上，因此，可以采用直线型拟合，抛物线型拟合和指数曲线型拟合。 （直线型拟合法）从散点图可以看出，1890年以后散点近拟分布在一条直线上，过两点（1900，75.995），（1920，105.711）作直线(y-105.711)／(x-1920)=(105.711-75.995)／(1920-1900),即y=1.4858x-2747.025. ∴当x=1980时，y=194.859×106即1980年该国人口预测为194.859百万人。 （抛物线型拟合法）从散点图的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线x=1790为对称轴的抛物线上，则以点(1790，3.929)为顶点，再任意选一点(1890,62.948)所确定抛物线方程为y=0.0059(x-1790)2+3.929 ∴当x=1980时y=216.919×106即该国人口预测为216.919百万。 （指数曲线法）从散点图的整体趋势来看，还可认为所有散点近似分布在一条指数线上，设指数方程为y=abx-c。 ∵1940，1950这两年离1980年最近，∴指数方程化为y=abx-1940 记Y=lgy，X=x-1940，则Y=Xlgb+lga 可用线性回归方法确定参数a，b(1940,131.669)，（1950，150.697）去确定a，b，容易计算得出a=131.669，b=1.0136。∴指数曲线方程为y=131.669(1.0136)x-1940 ∴当x=1980时，y=226.02×106即1980年该国人口为226.02百万。 例2．周大明在县城关镇新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件。由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，我们已经学习了一次函数、二次函数、指数函数，它们在实际生活、生产中有着广泛的应用。今天大家尝试一下，怎样从实际问题入手，运用学过的知识，通过抽象概括、建立数学模型来解决问题。厂长，? 1、引导分析 ? 教师引导学生审题，把学生置于“厂长”的位置，调动他们的情趣和积极性。然后采用师生交流的方式，明确要研究的内容，估测的依据和方法，使学生认识到首先要把实际问题转化为数学问题。由“月份”和“产量”的“数对”，想到要建立直角坐标系，描出各点位置，观察连线接近的函数图象如图。“由数到形”，再“由形到数“，用几个点的坐标找出与之相近的模拟函数，利用函数模型来解决问题。 ? 2、讨论模型 ? 在学生独立思考的基础上，引导学生分组讨论，找出模拟函数。 ? 学生1：一次函数：； ? 学生2：二次函数：； ? 学生4：指数函数型：。 ? 老师：很好，课下可以再考虑还有没有哪些函数图象更逼近这条曲线。我们设月产量为万件，月份数为，建立直角坐标系，可得A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）。下面同学们分成四个组，分别确定各个函数的解析式（允许用计算器），然后每组选出一位同学来板演过程，并计算出剩余点的误差。 ? （经过各小组学生的讨论，确定了各函数的解析式，并推选学生5、学生6、学生7、学生8分别上台板演。） ?