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学习外微分形式的一些感受 P 焦凡书 外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。 如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M，并在M处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S上任意一点M’，在S上做一条连接M,M’的曲线，由n(M’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M’处的单位法向量n(M’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S在M处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。 在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v) 则面积元素dA=dxdy=||dudv=||dudv=()dudv 若将x,y对换dA=dydx=||dudv=||dudv=()dudv 可得dxdy=-dydx dxdx=0 我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy为二次外微分形式，Hdxdydz为三次外微分形式。 可以证得（1）Newton-Leibniz公式用外微分表示=f(b)-f(a)= （2）Green公式用外微分表示Pdx+Qdy,=, （3）Gauss公式用外微分表示Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= dxdydz, （4）Stokes公式用外微分表示Pdx+Qdy+Rdz, , 而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为 外微分形式的次数 空间 公式 对应的度 0 直线段 Newton-Leibniz 梯度 1 平面区域 Green 旋度 1 空间曲面 Stokes 旋度 2 空间区域 Gauss 散度 由此得出公式的一般形式： 定理 设为外微分形式，d是它的外微分，则有 G是d的积分区域，G表示G的边界。 Stokes公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令，d为算子，则它们对偶. 所以说Stokes公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。 参考书目：《高等数学导论》 《微积分五讲》龚升