线性代数3.ppt

例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 解：因为 R(A) = n， 所以 A 的行最简形矩阵为 ， 设 m 阶可逆矩阵 P ，满足 ． 于是 因为 R(C) = R(PC)，而 ，故R(B) = R(C) ． 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零. 分析：若 R(A) = n，则 A 的行最简形矩阵应该 有 n 个非零行； 每个非零行的第一个非零元为 1 ； 每个非零元所在的列的其它元素都为零． 于是 A 的行最简形中应该包含以下 n 个列向量： 又因为 A 是 m×n 矩阵，所以 A 的行最简形矩阵为 ． 前 n 行 后 m - n 行 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 返回 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 附注： 当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵． 特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵． 因此，本例的结论当 A 为为方阵时，就是性质④ ． 本题中，当 C = O，这时结论为： 设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ． §2 矩阵的秩 一、矩阵的秩的概念 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个． 概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式 与元素a12相对应的余子式 相应的代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块 矩阵 A 的一个 2 阶子式 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 规定：零矩阵的秩等于零． 矩阵 A 的一个 3 阶子式 矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 ． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示． 如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 ． 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 ． 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 规定：零矩阵的秩等于零． 矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 显然， 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ； 若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) t ． 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| ． 当|A|≠0 时， R(A) = n ; 可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵． 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ． 矩阵 A 的一个 2 阶子式 矩阵 AT 的一个 2 阶子式 AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ． 例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解：在 A 中，2 阶子式 ． A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ． 例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解（续）：B 是