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线性代数 第四章 线性方程组 ?例1 的系数矩阵为A,且存在三阶非零方阵B,使AB=0 (1)求K的值 (2)证明: |B|=0 (1)原方程组可记为AX=0,其中 从而|A|=0 (2)由 得 ?例7 讨论K的值,求解非齐次线性方程组 当K=-2时 ?例8设AX=B为三元非齐次线性方程组，它的三个解向量 满足 解：∵R(A)=2 知AX=0解空间 n－r=3－2=1(维)，任一非零解都可作基础解系 习题三 1.当t为何值时，向量β=(1,-2,t)T可由向量组 当t=20时R(A)=R(ā) 练习4.2 4 解：由已知AB=0 知B的列向量组的每一个向量都是AX=0的解 解：由于R(A)=3　AX=0的基础解系中含4－3=1个解向量，因此任一非零解都是AX=0的基础解系． 设 X0=(X2+X3)-(X1+X3) 计算题:求解AX=b 练一练 1.解非齐次线性方程组 解：先求特解X* 于是得到AX=B同解的等价方程组 得到导出组的一个基础解系 2.若线性方程组 解： 则AX=B等价的最简方程组: 又导出组同解最简方程组 从而原方程组的通解为 解: 当K≠1且K≠-2时非齐次线性方程组 有唯一解 ∵R(A)=2, R( ā )=3 ∴非齐次线性方程组无解 当K=1时 线性方程组有无穷多解 得到同解的最简方程组 x1=-2－x2－x3 取x2=x3=0,得一个特解 X*=(-2，0，0)T 同时可得导出组的等价的最简方程组: x1=-x2－x3 令 ∴原方程组的通解 X=X*+X0 K1，K2为任意实数 导出组的一个基础解系 X1=(-1，1，0)T X2=(-1 ，0，1)T 且系数矩阵A的秩R(A)=2 求AX=B的通解。 设 X0是导出组AX=0的基础解系。 ∴AX=B的通解为: X= X*+X0=(1，0，-1)T+K(1，1，1)T K为任意常数 又设 那X*为AX=B一个特解 线性表示． 解: ∴ AX=0通解为： 练习4.2 3.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1求线性方程组AX=0的通解． 解:∵n阶矩阵A各行元素之和均为零 ∴X=(1，1，1，···，1)T且为AX=0的一个解。 又∵R(A)=n－1 故AX=0的基础解系中含一个解向量 设 求三阶方阵B，使得 AB=0，且R(B)=2． 又由于R(B)=2 练习4.2 5 设X1，X2为某个齐次线性方程组的基础解系，证明：X1+X2，2X1-X2也是该齐次线性方程组的基础解系． ∴X1+X2，2X1-X2 线性无关 故X1+X2，2X1-X2也是齐次线性方程组的基础解系。 证明：由于X1，X2是某个齐次线性方程组的基础解系,故该齐次线性方程组的基础解系中含2个解向量，且X1+X2，2X1－X2也是该齐次线性方程组的解，现只需证明X1+X2，2X1－X2线性无关即可。 设有一组数K1，K2，使K1(X1+X2)+K2(2X1－X2)=0 即(K1+2K2)X1+(K1-K2)X2=0 由于X1，X2线性无关 K1=K2=0 练习4.3 3 已知四元非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩R(A)=3，X1，X2，X3是它的三个解向量，其中X1+X2=(1，1，0，2)T，X2+X3=(1，0，1，3)T，求非齐次线性方程组AX=B通解． 是AX=0的解 是AX=B 一个特解 k为任意实数 ∴AX=B的通解 =(０，－1，１，１)T 练习4.3 4 设X*是非齐次线性方程组AX=B的一个解，X1，X2，···，Xn-r是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，证明：X*，X1，X2，···，Xn-r线性无关 证明： 用反证法 假设X*，X1，X2，···，Xn-r线性相关 又因X1，X2，···，Xn-r线性无关（基础解系） 故X*能由X1，X2，···，Xn-r线性表示 即X*=K1X1+K2X2+···Kn-rXn-r 则AX*=0与X*是AX=B的一个解矛盾 ∴X*，X1，X2，···，Xn－r 线性无关． 练习四 4 设线性方程组 (1)证明：若a1，a2，a3，a4两两不等，则线性方程组无解； (2)设a1=a3=K，a2=a4=-K (K≠0)且已知 X1=(-1，1，1)T　　　X2=(1，1，-1)T 是方程组两个解，写出该方程组的通解． ∴线性方程组无解 （1） ∴任何一非零解都是 AX=0的基础解系 而X0=X1－X2=(-2，0，2)T是AX=0的一个非零解，也就是AX=0的一个基础解系 ∴ AX=0的通解： K为任意实数 通