线性代数4.ppt

第四章 向量空间 一、 维向量的概念 二、 维向量的表示方法 n 维向量的加法和数乘运算规律 三、向量空间 四、小结 一、向量、向量组与矩阵 三、线性相关性的概念 四、小结 五、基变换公式与过渡矩阵 六、坐标变换公式 欧几里得 在差不多一百年前，几何就是欧几里德。 公元前330年～前275年，是古希腊数学家，以《几何原本》闻名于世——它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分。 一句箴言： 公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。 同理可知 （1）正交化，取 ， 求规范正交基的方法（Schmidt正交化方法） （2）单位化，取 施密特正交化过程 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 再单位化， 得规范正交向量组如下 证明 定义15 性质(4) 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交． 正交矩阵 例3 证 欧氏空间 概 念 内 积 范 数 夹 角 正 交 定理9 （标准）正交基 五、小结 1．将一组基规范正交化的方法： 　 （1）先用施密特正交化方法将基正交化， （2）然后再将其单位化． 2． 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立： １．解向量 一、齐次线性方程组解的结构 第六节 线性方程组解的结构 三、向量空间的基与维数 定义9 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （2）若把向量空间V看作向量组，那末V 的基 就是向量组的最大线性无关组, V的维数就是向量 组的秩. 课本P86例6 例6 设矩阵 解 四、向量在基下的坐标 定义10 向量空间V 的基确定之后，V 中向量在该基下的坐标 是唯一的。 例7 　　那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？ 　　问题：在 维线性空间 中，任意 个线性 无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的． 称此公式为基变换公式． 由于 基变换公式 　 矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵． 过渡矩阵 是可逆的． 过渡矩阵P就建立了向量空间V中的两组基之间的关系 作为过渡矩阵，P具有如下关系： 基变换公式 （1）满足 的矩阵P的第 j 列是 在基 （2）由于基是线性无关的，因而P是可逆矩阵。 而且P－1是从 的过渡矩阵。 若两个基满足关系式 则有坐标变换公式 或 证明 例8 P89 向量空间的概念： 　　向量的非空集合对加法及数乘两种运算封闭； 　　由向量组生成的向量空间． 2. 子空间的概念． 3. 向量空间的基和维数： 　　求向量空间基和维数的方法． 七、小结 4. 向量在基下的坐标． １．基变换公式 ２．坐标变换公式 或 回 顾 向量组 向量空间 概 念 极大无关组 向量组的秩 概 念 基 维 数 子 空 间 第五节 欧氏空间Rn 定义11 一、内积的定义及性质 记做： 定义了内积的向量空间 Rn 称为欧几里得空间，简称 欧氏空间。 说明 例 解 ◆内积的运算性质 （5）柯西——施瓦茨性质 2 定义12 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： 二、向量的长度及性质 解 单位向量 例 夹角 定义13 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 三、正交向量组的概念及求法 例如 证明 ３ 正交向量组的性质 定理 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基. ４ 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 ５ 标准（规范）正交基 例如 定义14 解 例1 法1 法2 例2 设 分析 解 例2 设 定理3 证明 充分性 必要性 定理4 证明 定