2013专转本第三讲 函数连续性、导数极其应用.ppt

第三讲 函数连续性、导数极其应用 例4 解： 等式两边取对数得 上式两边关于x求导得 第三讲 函数连续性、导数极其应用 例5 解法一： 等式两边取对数得 上式两边关于x求导得 即 解法二： 解法一与解法二没有本质的区别，相比而言解法二较直接，但需要对复合函数的求导熟练掌握 第三讲 函数连续性、导数极其应用 例6 解： 等式两边取对数得 上式两边关于x求导得 即 第三讲 函数连续性、导数极其应用 六、高阶导数 1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或 2. 仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， …… n阶导数 或 . 第三讲 函数连续性、导数极其应用 七、参数方程所确定函数的导数 参数方程求导问题是历年必考的重点题型，但却不是难点，主要是公式的应用，归结到底还是考查一般函数求导问题。 第三讲 函数连续性、导数极其应用 例7 解： 第三讲 函数连续性、导数极其应用 八、微分中值定理 关于微分中值定理，不是目前我们学习的重点，但要做到基本了解，知道它们的几何意义，会求满足定理条件的点即可。 1.罗尔(Rolle)定理 第三讲 函数连续性、导数极其应用 罗尔定理几何解释: y 例8 第三讲 函数连续性、导数极其应用 2.拉格朗日(Lagrange)中值定理 第三讲 函数连续性、导数极其应用 拉格朗日中值定理几何解释： 例9 解： 第三讲 函数连续性、导数极其应用 利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理 作辅助函数 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 第三讲 函数连续性、导数极其应用 3.柯西中值定理 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况： 第三讲 函数连续性、导数极其应用 九、导数的应用（利用导数研究函数的性质） 单调 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 1.函数的单调性 第三讲 函数连续性、导数极其应用 注： （1）求函数单调区间就是解导数不等式 （2）证明方程根的个数最经典的方法就是结合函数单调性 利用零点定理 2.函数的极值 简单地说，所谓极值，就是在某一点的“附近”它的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一个极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小值统称为极值。 关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻点、不可导点 驻点是指一阶导数等于零的点，即满足 的点 不可导点是一阶导数不存在的点，即 无意义的点 驻点与不可导点我们习惯上统称为“极值可疑点” 第三讲 函数连续性、导数极其应用 导数为零不是驻点 不可导点不是极值点 两个特例 第三讲 函数连续性、导数极其应用 函数极值的性质与判定 ◆性质（必要条件） ◆判定（充分条件） （1）第一充分条件 ① 对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f ’(x)0， 右侧f ’(x)0，那么f(x0)是极大值； ② 如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0，那么f(x0) 是极小值． 第三讲 函数连续性、导数极其应用 求极值的步骤: 第三讲 函数连续性、导数极其应用 例10 解： 所给的函数定义域为 . 1 0 –1 0 不存在 0 y x (0,1) (–1,0) – + + – 极小值 极大值 极小值 第三讲 函数连续性、导数极其应用 （2）第二充分条件 注： ①利用第一充分条件判定极值一般都需要列表讨论，这样比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导数的正负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负） ②第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函数），使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者即使满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用这种方法了 第三讲 函数连续性、导数极其应用 3.函数的最大值与最小值 先思考一个问题，在函数的定义域内，哪些点可能成为最值呢？ 端点 极值点 驻点 不可导点 求函数的最值十分简单，就是把函数在定义域内所有极值可疑点（驻点和不可导点）以及端点代入到原函数中比较其大小，最大为最大值，最小为最小值 例11 解： * 第三讲 函数连续性、导数极其应用 §1 函数的连续性 定义：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数f(x)在点x0连续. 一、连续