线性代数460633.ppt

一、向量空间的概念 三、向量空间的基与维数 例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 维向量，集合 为两个已知的 设 n b a , 例4 试判断集合是否为向量空间. 一般地， 为 { } { } . , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 V V R b b b x V R a a a x V b b a a s s s m m m s m = ? + + + = = ? + + + = = 试证： 记 等价， 与向量组 设向量组 m m m m m m l l l l l l L L L L L L 例5 * * 第四节 线性方程组解的结构 (1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A) n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)n时有无穷多解; 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并建立了两个重要定理: 一、齐次线性方程组的解 设有齐次线性方程组 若记 则上述方程组可写成向量方程 Ax = 0. 若x1=?11, x2=?21, ···, xn=?n1为方程组Ax = 0的解, 则 称为方程组Ax = 0的解向量. (1) 若x = ?1, x = ?2为Ax = 0的解, 则 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解. 证明: 因为 A?1 = 0, A?2 = 0, 所以 A(?1 + ?2) = A?1 + A?2 = 0, 故 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解. (2) 若x = ?1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k?1也是 Ax = 0的解. 证明: 因为 A?1 = 0, 所以 A(k?1) = kA?1 = k 0 = 0, 故 x = k?1也是Ax = 0的解. 　　这两个性质表明, Ax = 0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次方程组 Ax = 0 的解空间. 二、基础解系及其求法 称向量组?1, ?2, ···, ?t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果 (1) ?1, ?2, ···, ?t 是Ax = 0的解的一个最大无关组; (2) Ax = 0的任一解都可由?1, ?2, ···, ?t 线性表出. 如果向量组?1, ?2, ···, ?t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k1?1 + k2?2 + ··· + kt?t 其中k1, k2, ···, kt为任意常数. 　　设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关, 于是A可化为: 即有方程组 (1) 现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量): 分别代入方程组(1)依次得: 从而求得原方程组的 n–r个解: ···, 定理1: 当 n元齐次线性方程组 Am?nx = 0的系数矩阵的秩R(A)=r时, 解集S的秩为 n–r . 依据以上的讨论，还可推得 当R(A)=n时, 方程组Ax = 0只有零解, 故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量, 为0维向量空间). 当R(A)=r n时, 方程组Ax=0必有含n–r个向量的基础解系?1, ?2, ···, ?n-r . 因此由最大无关组的性质可知，方程组Ax=0的任何n–r个线性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的. 例1: 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 有 解: 对系数矩阵A作初等行变换, 变为行最简矩阵, 得 即得基础解系: 并由此得通解: 例2: 设Am?nBn?l = Om?l , 证明R(A)+R(B)? n. 证明: 设B =(b1, b2, ···, bl ), 则 AB = A(b1, b2, ···, bl ) = (0, 0, ···, 0 ) = Om?l , 即 Abi = 0 ( i =1, 2, ···, l), 也就是说, B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量. R(B)=R(b1, b2,··· ,bl )? n–R(