第八章 常微分方程数值解法49607.ppt

由于e0=y(a)-y0=0, 所以有 则有 设?(x,y)连续且关于y满足Lipschitz条件,对于Euler方法,由于?(x,y,h)=?(x,y),故Euler方法是收敛的. 对于改进的Euler方法,由?(x,y)的Lipschitz条件有 |en|?|e0|eL(b-a)+C1hp/L(eL(b-a)-1) |en|?C1hp/L(eL(b-a)-1)=Chp |?(x,y,h)-?(x,y*,h)|?1/2|?(x,y)-?(x,y*)| +1/2|?(x+h,y+h?(x,y))-?(x+h,y*+h?(x,y*))| ?1/2L(1+hL)|y-y*| 则当h?h0时,?关于y满足常数为1/2L(1+h0L)的Lipschitz 条件,因此改进的Euler方法是收敛的. 可类似验证各阶R-K方法是收敛的. §4.2 单步方法的稳定性 定义8.2 对于初值问题(8.1),取定步长h,用某个差分方法进行计算时,假设只在一个节点值yn上产生计算误差?,即计算值?yn=yn+?, 如果这个误差引起以后各节点值ym(mn)的变化均不超过? ,则称此差分方法是绝对稳定的. 讨论数值方法的稳定性,通常仅限于典型的试验方程 y?=?y 其中?是复数且Re(?)0. 在复平面上,当方法稳定时要求变量?h的取值范围称为方法的绝对稳定域,它与实轴的交集称为绝对稳定区间. * 第8章 常微分方程数值解法 §1.1 为什么要研究数值解法 一阶常微分方程初值问题的一般形式为 y?=?(x,y) ,a?x?b §1 引言 (8.1) y(a)=? 其中?(x,y)是已知函数,?为给定的初值. 如果函数?(x,y)在区域?a?x?b,-?y??上连续且关于y满足Lipschitz条件 其中L0为Lipschitz常数,则初值问题(8.1)有唯一解. 所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值. a=x0x1x2…xn…xN=b 其中剖分节点xn=a+nh,n=0,1,…,N, h称为剖分步长.数值解法就是求精确解y(x)在剖分节点xn上的近似值yn?y(xn), n=1,2,…,n. 假设初值问题(8.1)的解y=y(x)唯一存在且足够光滑.对求解区域[a,b]做剖分 我们采用数值积分方法来建立差分公式. §1.2 构造数值解法的基本思想 在区间[xn,xn+1]上对方程(8.1)做积分,则有 对右边的积分应用左矩形公式，则有 梯形公式 o x y a b 左矩形公式 y=?(x) 右矩形公式 中矩形公式 对右边的积分应用左矩形公式，则有 因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式 称之为Euler公式. 称为梯形公式. 若对(8.2)式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式 利用Euler方法求初值问题 解 此时的Euler公式为 称为Euler中点公式或称双步Euler公式. 若在区间[xn-1,xn+1]上对方程(8.1)做积分,则有 对右边的积分应用中矩形求积公式，则得差分公式 例1 的数值解.此问题的精确解是y(x)=x/(1+x2). 分别取步长h=0.2 ,0.1 ,0.05,计算结果如下 0.00000 -0.00804 -0.01268 -0.00892 -0.00481 -0.00227 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.35287 0.50049 0.50073 0.45425 0.40227 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 h=0.05 0.00000 -0.01603 -0.02590 -0.01781 -0.00928 -0.00419 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.36085 0.513