复变函数与积分变换 第1章.ppt

第一章 复数与复变函数 复变函数与积分变换及应用背景 主 要 内 容 §1.1-1.2 复数及其表示式 1.1.1 复数的概念 1.1.2 复数的四则运算 1.1.4 乘幂与方根 §1.3 平面点集的一般概念 1.3.1 区域 1.3.2 Jordan曲线、连通性 §1.5 复变函数的极限与连续 1.5.1 复变函数的定义 本章内容总结 一 本章内容总结 二 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为分段光滑曲线. 能求出长度的曲线称为可求长曲线. 分段光 滑曲线是可求长曲线. 光滑曲线 分段光滑曲线 3 单连通区域与多连通区域 设D是复平面上的一个区域, 如果位于D内 的任何Jordan曲线的内部区域也都包含于D,则 称D为单连通区域.若区域D不是单连通区域,则 称它为多连通区域. 单连通域 多连通域 例1.11 指出下列不等式所确定的点集, 是否有 界? 是否区域? 如果是区域, 单连通的还是多连通的? 无界的单连通区域 如图 . 解 1 当 时, 是角形域, 无界的单连通域 如图 . 周外部, 无界多连通区域 如图 . 是以原点为中心, 半径为 的圆 表示到1, –1两点的距离之 表示该椭圆的内部, 这是有界的单连通区域 如图 . 和为定值 4 的点的轨迹, 因为 所以这是椭圆曲线. 内部. 这是有界集, 但不是区域. 令 是双叶玫瑰线 也称双纽线 . 表示双纽线的 例1.12 满足下列条件的点集是否区域? 如果 是区域, 是单连通区域还是多连通区域? 这是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 它是单连通区域. 这是以为 右边界的半 平面, 不包括直线 它是多连通区域. 它不是区域. 这是以 为圆心, 以2为 半径的去心圆盘. 这是以i为端点, 斜率为1的半 射线, 不包括端点i. 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几 何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示 复数. 设S是与复平面C切于原点O的球面. 过原点O 做垂直于平面 C的直线, 与S的另一交点为N. 原 点O称为S的南极 S极 , 点N称为S的北极 如图 . 1.4 无穷大与复球面 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面 上的点来表示复数. 球面上的北极N不能对应复平面上的定点, 当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数 的模越大. 规定: 复数中有一个唯 一的 “无穷大” 与复平面上 的无穷远点相对应, 记作 ?. 球面上的北极N就是复 数无穷大的几何表示. 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.包括无穷远点的复平面称为扩充 复平面. 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一 对应, 这样的球面称为复球面. 对于复数的无穷远点而言, 它的实部、虚部, 辐角等概念均无意义, 规定它的模为正无穷大. 1 加法 2 减法 3 乘法 4 除法 1 复变函数的定义 2 复变函数的极限 3 函数的连续性 定义1.1 设E是复平面上的点集, 若对任何 z?E, 都存在惟一确定的复数w和z对应, 称在 E 上确定了一个单值复变函数，用w f z 表示. E 称为该函数的定义域. 在上述对应中, 当z?E所对应的w不止一个 时, 称在E上确定了一个多值复变函数. 数, 而 例如, w |z|是以复平面C为定义域的单值函 两个复数相乘的几何意义 设两个复数对应的向量分别为 先将z1按逆时针方向 旋转角度 ,再将模 变到原来的r2倍,于是 所得的向量z就表示乘积 利用数学归纳法可以证明：如果 特别地, 如果 那么 那么 如果写成指数形式，即如果 那么 特别地，当|z| r 1时, 变为 称为De Movie公式（棣摩弗公式）. 那么 De Movie公式仍然成立. 设 如果定义负整数幂为 当 即 时, 则 如果将z1和z2写成指数形式 于是 两个复数商的模等于它们模的商；两个复数 商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 方根, 记做 或 如果 于是, 当 时, 对给定的复数z, 方程wn z的解w称为z的n次 满足以上三式的充分必要条件是 其中 表示算术根. 于是 当取k 0,1,2,···,n-1时, 对一个取定的q, 可得 n个相异根如下 由三角函数的周期性 可见, 除w0,w1,···,wn-1外, 均是重复出现的, 故 当z 0时, w 0就是它的n次方根. 常取主辐角. 若用指数表示式, 则当z reiq时, 这n个复数就是所要求的n个根. 在上面的推导过程中, 可取q为一个定值, 通 例1.6 求方程 w4+16 0的四个根. 因为-16 2