线性代数3.1.ppt

第3章 向量的线性相关性 与向量空间 定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 一、 维向量的概念 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 二、 维向量的表示方法 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 一、填空题（本题15分，每小题3分）2010级32学时 　 一、填空题（本题15分，每小题3分）2008级32学时 　 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 三、向量、向量组与矩阵 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义2 线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 注意 定义3 四、线性相关性的概念 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 五、线性相关性的判定 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 解 例１ 设 则 即 证 定理3 设 二、选择题（本题15分，每小题3分） (2010级 32学时） 提示： 定义4 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价．