线性代数§1.1.ppt

由以上结论容易得到： 说明2. 二阶行列式包括2!项, 每一项都是位于不同行, 不同列的两个元素的乘积, 其中一项为正, 一项为负. 三阶行列式包括3!项, 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 说明1. 对角线法则（沙路法）只适用于二阶与三阶行列式． 说明3. 对于n（n3）阶行列式，不能用沙路法定义. 四、n 行列式的性质 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式. 记 性质1: 行列式的行与列互换，其值不变, 即 DT = D. 性质1说明行列式对行成立的性质都适用于列. 下面仅对行讨论. 由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到 上三角行列式(主对角线以下的元素全为0)的值等于主 对角元的积，即 性质2: 行列式按任一行展开，其值相等，即 其中 是 D 中去掉第 i 行第 j列的全部元素后剩下的元素 按原来的顺序排成的 n－1 阶行列式，称为 的余子式， 称为 的代数余子式. 即 性质3: 线性性质 （1）行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式. （2） 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 那么该行列式可以写成两个行列式的和.例如： （1） 若行列式的某一行(列)的元素都是 n 个数之和,那么该行列式可以写成 n 个行列式的和. 例如： 说明： （2） 若行列式的某 m 行(列)的元素都是 两 例如： 说明： 个数之和,那么该行列式可以写成 个行列式的和. 由性质3马上得到： 推论1 某行元素全为零的行列式其值为零. 性质4 行列式中两行对应元素全相等，其值为零. 对行列式的阶数用数学归纳法证明 证明： 当D为二阶行列式时，结论显然成立. 假设当 D 为 n－1 阶行列式时，结论成立。 设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等. 则当D为 n 阶行列式时，将D 按第k 行展开得： 其中， 为 k－1 阶行列式， 且有两行元素对应相等， 故 由归纳假设知 推论2 行列式中两行对应元素成比例，其值为零. 由性质 3 和性质 4 马上得到： 性质5 在行列式中，把某行各元素分别乘以数 k，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变。 （对行列式做倍加行变换，其值不变），即 在行列式的计算中，性质3、5以及下面的性质6经常 用到，为书写方便，我们先引入几个记号。 用 表示第 i 行, 表示第 i 列. 交换行列式的第 i, j 两行(列),记作 把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去, 记作 行列式的第 i 行(列)乘以数k, 记作 注意： 和 含义不同. 性质6 （反对称性质） 行列式的两行对换，行列式的值反号. 证明： * 课程简介 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系 问题. 最简单的线性问题就是解线性方程组. 行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具， 也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向 量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系 的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容. 第一章 行列式 第二章 矩阵 第三章 线性方程组 第四章 向量空间与线性变换 基础 基本内容 用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容 第五章 特征值与特征向量 第六章 二次型 矩阵理论 中心内容 参考及辅导书目： 1、《线性代数学习指南》 居余马 林翠琴 编著 清华大学出版社 2、《线性代数》 第四版 同济大学应用数学系编 高等教育出版社 一、二阶行列式的引入 用消元法解二元(一次)线性方程组: §1.1 n阶行列式的定义与性质 (1) (2) (1)?a22: a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22, (2)?a12: a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, 两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12; 当(a11a22 – a12a21) ? 0时, 方程组的解为: 由方程组的四个系数确定 (3) 类似地, 消去x1, 得 (a11a22 – a12a21) x2 = b2a11 – b1a21; 若记 (4) 则方程组的解（3）可以表示为 称 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算——对角线法则 = ad – bc 为二阶行列式 对