线性代数 4-3.ppt

一、最大线性无关向量组 二、矩阵与向量组秩的关系  作业 习题四  11（1），12（2）， 13，  定义1 定理６ 结论 说明 　　向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的。 　　这是因为 A0 组是 A 组的一个部分组，所以 A0 组总能由 A 组线性表示（ A 组中的每一个向量都能由 A 组表示 ）；而由最大无关组的定义可知，对于 A 中任一向量 a ，r + 1 个向量 a1 , a2 , ? , ar , a 线性相关，知 a 能由向量组 a1 , a2 , ? , ar 线性表示，即 A 组能由 A0 组线性表示，所以 A 组与 A0 组等价。 　　以上结论的逆命题也是成立的，即 推论（最大无关组的等价定义） 设向量组 A0：a1, a2, ? , ar 　是向量组 A 的一个部分组，且满足 　（1）向量组 A0 线性无关； 　（2）向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。 证明： 　　　只要证明向量组 A 中任意 r + 1 个向量线性 相关。 由条件（２）知，这 r + 1 个向量能由向量组 A0 线性表示，所以有 所以，由定理可知 r + 1 个向量 b1, b2, ? , br +1 线性相关。因此，向量组 A0 是向量组 A 的最大无关组。 　　显然，　的最大无关组有很多，任何 n 个线性无关的 n 维向量都是 　的最大无关组。 事实上 例３ 设向量组 求向量组最大线性无关组。 解 则 R(A) = 3 。 又因为 例４　设齐次线性方程组 的全体解向量构成向量组为 S ，求 S 的秩。 解： 得同解方程组： 解得： 通解可写成 所以， R R 显然，?1，?2　线性无关，且 S 中的向量都能由　?1，?2　线性表示，所以，?1，?2　是 S 的最大无关组，从而向量组 S 的秩为 RS = 2。 　　设向量组 A: a1, a2, ?, am 构成矩阵 A = ( a1, a2, ?, am )，则由定理知： 　　由此可知，前面介绍的定理中出现的矩阵的秩都可改为向量组的秩。 如： 定理2 向量组 B: b1, b2, ?, bl 能由向量组 A: ?1, ?2, ? , ?m 线性表示的充分必要条件是R( ?1, ?2, ? , ?m ) = R( ?1, ? , ?m , b1, ?, bl ) 。 结论1 三、向量组秩的重要结论 证 设向量组 A 和向量组 B 合并成向量组 C ， 根据定理 2 ，因为 B 组能由 A 组表示，所以有: 又已知： 故有： 由定理 2 的推论得： 向量组 A 和向量组 B 等价。 １．最大线性无关向量组的概念： 　　最大性、线性无关性． ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 　　矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 　　　　　　＝矩阵行向量组的秩 ３． 关于向量组秩的一些结论： ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 　　将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 　　阵，然后进行初等行变换． 四、小结