有限元经典PPT第3章.ppt

计算固体力学第二讲 研510 周二(4月14日)18:00-20:35 第三章：数值方法的基本理论 力学问题可表示成微分方程的边值问题。因此，力学问题的求解可参照微分方程的求解方法构造。根据问题的不同，可采用微分形式，也可采用积分形式。不同的描述方式，可构造不同的数值方法。 计算机最容易处理的是数值计算、求解代数方程。因此，根据弹性力学理论建立的控制微分方程组，需要离散化。所谓离散化是将一个函数用若干点的函数值近似表示。 §3.1 有限差分法（Finite Difference method） 1.差分格式： 有限差分方法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程的求解转化为代数方程的求解，求得的是待求函数（定义在定义域的每一点）在离散的网格点上的值。 为了说明差分方法的思想，我们先回顾一下差分和微分。 考虑一个二维问题。假设： 是一物理问题的解，定义在一个矩形区域上 在０点附近沿x轴线上点的函数值 如果网格很细密， 很小 在节点1和3上： 分别为 和 即 ： 和 联立求解，可获得： 同理，沿y方向取点，可得： 差分公式： 同理可得到混合二阶偏导数： 同理，可获得更高阶的导数。 导数的阶次越高，涉及的周围节点数越多。 以上的格式是中心差分格式 向前差分 例如： 用 ， ， 表示： 向后差分： 不同的差分方式，对应不同的差分方法。 2. 稳定温度场的差分解 考虑一个正方形区域内的无源的平面稳定温度场，边界上给定温度分布为， 基本方程（Laplace方程）： 因此，在0点有： 在内部各节点均可以建立类似的方程。 从而构成一个由节点函数值组成的线性代数方程组。 在边界节点，则需要根据边界条件构造差分方程。 第一类边界条件： 如果边界为第一类边界，此时，各边界节点的温度量给定。 边界条件可表示为： （ 表示已知的值） 举例： 第二类边界条件（给定边界的热流量）的处理： 此时，0点的方程为： 第三类边界条件（给定环境温度,环境和物体发生热交换） 修正的边界节点的差分方程： 当边界与y轴垂直时，也可得到类似的方程。 复杂区域形状（复杂边界）的处理 边界为曲线或斜线 此时会出现不规则的内节点 A点需要满足的差分方程： 在A点展开 有限差分法的特点 有限差分法的基本概念非常简单。但实施会遇到困难： 均匀网格只适用于非常简单的矩形区域； 即使非常简单的矩形网格，第二、第三类边界条件也就需要引入虚拟域外节点。 复杂边界处理： 或是在边界上设置节点，导致复杂的边界差分格式； 或是在域内采用非均匀的格式，差分格式的自动生成非常困难； 可以想象三维问题的复杂,可以想象高价微分方程的复杂 一旦将系数矩阵输入计算机，线性方程组求解可以高度自动化，无须人为干预； 如何适应各种复杂边界形状、边界条件，在计算机上自动形成系数矩阵是差分法的瓶颈。 对于抛物型双曲型方程,显式格式有稳定性问题,时间步长和空间格式需要协调;隐式格式虽然稳定,但效率往往很低. 课堂习题 不规则网格上的差分格式 插值和差分格式 插值和差分在某种意义上可看作函数关系描写的两种方法: 离散到连续之间的正映射和逆映射. 如果我们知道函数在三点的值： 格林公式可以用来构造非规则网格上的差分格式 格林公式可以用来构造非规则网格上的差分格式 计算固体力学第三讲 研510 周二(4月21日)18:00-20:35 §3.2 微分方程的等价积分形式 描述物理问题的三种数学工具： １。微分方程边值问题 　　　　　　相应的数值方法是差分方法 ２。能量原理（例如，最小总势能原理，最小余能原理） 　　　　　　相应的数值方法是有限元法 ３。微分方程的弱形式 　　　　　　相应的数值方法是加权残数法 　　　　　　和虚功原理可比较 　　　　　　系统如果没有能量也可使用 §3.2 微分方程的等价积分形式 两端简支梁，微分方程边值问题 　　　　　　 §3.2 微分方程的等价积分形式 (2). 微分方程的算子形式 在域内： 边界上： 其中，A，B1，B2为微分算子 利用微分方程的算子形式，构造相应的积分形式 在域内，取任意函数 构造 同样，在边界上 等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。 被积函数在区域上有有限个间断点，则可积。 降低（*）连续性 预备知识 (3)格林公式和高斯公式 §3.3 加权残数法（W