第七章 常微分方程数值解法.pptVIP

* 一阶常微分方程初值问题是： (7.1) (7.2) 其中f(x,y)是已知的xoy平面上某个区域D上连续函数, 式(7.1)是微分方程，有无穷多解, 式(7.2)是确定解的初始条件。 如果一元函数y(x)对一切a≤x≤b 满足 （1） (x,y(x))∈D （2） y(xn)=yn （3） y?存在，且y?(x)=f(x,y(x)) 则称y(x)是初值问题(7.1),(7.2)在[a,b]上的解。 定义1.1 如果存在正常数L0,使得对一切x?[a,b]及y1 ,y2 ?[c,d] 有 |f(x,y1)-f(x,y2)|? L|y1- y2| 则称f(x,y)关于y满足lipschitz(李普希滋）条件，其中L称为lipschitz常数。 关于初值问题解的存在,唯一及对初始条件的连续依赖性,有下列定理： 定理7.1 设f(x,y)是在D={(x,y)| a≤x≤b,y∈R}上的连续函数，其中a,b为有限实数,且f(x,y)关于y满足lipschitz条件，则对(x0,y0) ∈D,初值问题(7.1),(7.2)在[a,b]存在唯一的连续函数微分解y(x). 定理7.2 设f(x,y)是在D={(x,y)| a≤x≤b, y∈R}上的连续函数，且f(x,y)关于y满足lipschitz条件,设y(x;s)是初值问题 y ? =f(x,y) y(x0)=S 的解,则当s取s1和s2时,有估计 ｜y(x;s1)-y(x;s2)｜ ≤ EXP（L｜x-x0｜｜s1-s2｜) 定理7.2的意义：若初值问题(7.1),(7.2)中，初始值有一微小扰动，则解的扰动也是微小的，也即解连续依赖初始条件. 1. 差商方法 (化导数为差商的方法) 设初值问题(7.1)的准确解y(x)在节点xn之值为y(xn),记y(xn)的近似值为yn,则初值问题(7.1),(7.2)化为 差分方程问题 (7.3)称为解一阶方程初值问题(7.1),(7.2)的欧拉(Euler)公式(欧拉方法) (7.3) 例7.1 用尤拉方法求初值问题 的数值解(取h=0.1). 解 因为f(x,y)=x-y2,x0=0,h=0.1, 故由递推公式(4.3)得 (7.4) 由(7.4)计算所得的数值如下表 yn 0 0 0.01000 0.02999 0.05990 … xn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 … n 0 1 2 3 4 … 2. 数值积分方法 对微分方程 y′ =f(x,y(x)) 在区间[x,x+k]上积分得 特别当x=xn及k=h时有 (7.5) 对于(7.5),利用在区间[xn,xn+1]上的矩形积分公式 再用yn代替y(xn),由此得到尤拉公式 3. 隐式尤拉法和二步尤拉法 在差商方法中,若改用向后差商[y(xn+1)-y(xn)]/h替代方程 y’(xn+1)=f(xn+1,yn+1)中的导数项y’(xn+1),即可导出一个新的计算方法 (7.6) 此公式与尤拉法有本质的区别,后者是关于yn+1的一个直接的计算公式,这类公式称作是显式的;然而此公式的右端含有未知的yn+1,它实际上是关于yn+1的一个函数方程,因此称作隐式尤拉法. 若改用中心差商[y(xn+1)-y(xn-1)]/2h替代方程 y’(xn)=f(xn,yn)中的导数项y’(xn),便可得到下列公式 (7.7) 利用公式(7.7)计算yn+1时,需要调用前面两步的信息yn和yn-1因此 称为二步尤拉法. 4. 局部截断误差 定义7.1 设yn是初始问题(7.1),(7.2)的精确解, 即yn=f(xn),则误差 y(xn+1) – yn+1称为局部截断误差。 定义7.2：称一种数值方法的精度是p阶的,如果其局部误差为O(hp+1),其中p为正整数. 对于尤拉法,若yn=f(xn), 则由(7.3)有 而按台