2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案（湖北）.doc

2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北) （时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（每小题6分，共36分） 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90o后得到Rt△C，连接AD，若B＝65o，则∠ADE＝( )． A. 30o B. 25o C. 20o D. 15o 2．有甲、乙、丙三个不透明布袋，里面都装有数量相同的玻璃球，这些球只有颜色不同．已知甲布袋中黑球占袋内总球数的，乙布袋中没有黑球，丙布袋中黑球占袋内总球数的．现将乙、丙布袋内的球全部倒入甲布袋中，再从甲布袋中任取一个球，则取出黑球的概率是（ ）． A. B. C. D. 3．反比例函数的自变量x满足 ≤x≤2，函数值y满足 ≤y≤1，则k的值为（ ）． A. B. 或 2 C. 或 D. 2或 4．若是关于x的一元二次方程()的两根，则的值为（　　）． A. B. 8 C. 2 D. 5．如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数的图象如图，则下面结论正确的是（ ）． A. a为x轴，c为y轴 B. a为x轴，d为y轴 C. b为x轴，c为y轴 D. b为x轴，d为y轴 6. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于C，圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧，且使得MC＝MD＝AC．现有下列结论： (1)MD与⊙O相切; (2)四边形ACMD是菱形; (3)AB＝MO; (4) ∠D＝120o．其中正确的结论有（　　）个．A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（每小题6分，共36分） 7. 若方程有一个根是a,方程有一个根是－a,则a＝　　． 8. 如图所示为一个电路图，在该电路图上有四个开关A、B、C、D和一个灯泡，现在任意闭合其中两个开关，灯泡能够发光的概率为 ． 9. 如图为一个玉石饰品的示意图，与中心在同一平面上的A、B为外圆上的两点，且AB与内圆相切于C点，过C作CD⊥AB交外圆于D，且AB＝24cm，CD＝6cm，则外圆的直径是　　　cm． 10. 已知二次函数的图象与x轴交于、，＜，现有下列结论：①方程有两个不相等的实数根；②当x＝-2时，y＝1; ③当＞时，y＞0; ④．其中正确结论的序号是　　　　　． 11．如图，在△ABC中，AB＝30cm，AC＝20cm，以BC为边作等边△BCD，连接AD，则AD的最大值与最小值的和是　　　　　． 12．如图，△AOB中为等边三角形，点B的坐标为（－1，0），过C（1，0）作直线l交AO于D，交AB于E，E在反比例函数的图象上，且△ADE的面积和△DOC的面积相等，则k＝　　　　　． 三．解答题（每小题12分，共48分） 13．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值． 14．如图是四张卡片A、B、C、D的正面图案，它们的背面都相同，现在将这四张卡片背面朝上洗匀，先摸出一张，记下正面的图案后放回，再次洗匀后又摸出一张． (1) 用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性； (2) 求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30o,∠ABC＝90o,延长BC到点O，使得OC＝BC，以点O为圆心，以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D，连接BD． （1）求证：BD与⊙O相切； （2）若AB＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OC＝OB＝2OA＝2． （1）求此二次函数的解析式及顶点D的坐标； （2）过BD上一点E作EF⊥x轴于F，当E在线段BD上运动时（不与B、D点重合），设EF＝t，四边形ACEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使得△ACG为直角三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B D 0,8 1/2 30 ①② 60 －3/16 13.(1) 0; (2) ,， 14.(1) …, (2) ，（说明：本题官方解答是1/16）; 15.(1)…,(2) 16.(1) ;(2) ;(3) 第11题 将绕B