2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案.doc

2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分） 1．“a =2， ”是“曲线C：经过点”的( A )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A. 解答：当a =2， 曲线C：经过；当曲线C：经过点时，即有，显然也满足上式。所以“a =2， ”是“曲线C：经过点”的充分不必要条件。 2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为，则实数的取值范围为( B )． A． B． C． D． 答案：B. 解答：由题意可知： 解得。 3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点， 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )． A． B． C． D． 答案：C. 解答：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，且平面的法向量为，平面法向量为。因此，即二面角M-CD1-A的余弦值为。 4．若实数满足，则的最大值为 ( C )． A． B． C． D． 2 答案：C. 解答：由满足的条件知，所以，当取等号。 5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为( D )． A． B． C． D． 参考答案：D. 解答：如图5-1所示， 图5-1 图5-2 （1）当的直角顶点在的斜边上，则四点共圆，所以在中分别应用正弦定理得.又故,故即为的中点. 过作于，则,所以,此时的最大值为. （2）当的直角顶点在的直角边上，如图5-2所示，设,则 在中， 在中，, 由正弦定理, ，因此. 这样，，当且仅当取等号，此时的最小值为. 6. 已知数列的通项 ，，若，则实数等于（ D )． A． B． C． D． 答案：D. 则，所以 ，经检验只有符合题意。 7． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )． A． B． C． D． 答案：C. 解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为，面积为过的直线的倾斜角为。 当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，，此时正方形的面积。 同理，当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，；当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，. 8．若集合，则集合中的元素个数为( B )． A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162 答案：B. 解答：由已知得，因为一奇一偶，所以两者之一为偶数，即为共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合共有4032个元素. 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分） 9．已知函数满足，，且，则 ． 答案：. 解答：，所以 10．若数列的前项和，，则= ． 答案：. 解答：又，故, . 11． 已知F为抛物线的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当取最小值时，点M的坐标为 ． 答案：. 解答：设抛物线的准线为.过M作的垂线，垂足为则 ,当三点共线时取等号，此时M的坐标为。 12．若，则 . 答案：. 解答:设，则，代入方程得或，即 或，所以。 13. 设函数，其中表示中的最小者．若，则实数的取值范围为 ． 答案：. 解答：当时，此时有； 当时，此时有； 当时，此时有； 当时，此时有； 当时，此时有。 14． 已知向量的夹角为， ，向量，的夹角为，，则的最大值为 ． 答案：24. 解答：，则又 此时共圆，由正弦定理得，则。在中，,由余弦定理得,即，所以，当时取“=”，因此的最大值为24. 15．设，若对任意，都有，则 答案：. 解答：首先令知.其次考虑过定点（0,2）的直线，与开口向上的抛物线，满足对任意所对应图象上的点不在轴同侧，因此.又，故. 三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分） 16． 设，函数．若对任意实数，