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一道课本习题在中考中的应用 唐军 华数七年级（下册）《轴对称》P102： 如图，A、B在直线L的同侧，点B′是点B关于L的对称点，AB′交L于点P．（1）AB′与AP+BP相等吗？为什么？（2）在L上取一点Q，并连接AQ和QB，那么AQ+QB与AP+PB哪一个大？为什么？ 本题实际上是在直线L上找一点P，使点P到直线L的同侧两个定点A、B的距离之和最小．这道题是在学习了线段公理和轴对称后的一道很好的习题．这道题有很多应用，从2008年中考试题中可以看到这一习题的结论是被如何应用的． 例1（2008湖北省荆门市如图，菱形ABCD点P是对角线AC上的一个动点点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________． PM+PN的最小值 解：(1)E(3,1)；F(1,2)； (2)在Rt△EBF中,∠B=900，所以EF=. 设点P的坐标为(0,n),其中n＞0,因为顶点F(1,2), 所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0) ． 如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4, 所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2． ②如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=－(舍去) ． ③当EF=EP时,EP=＜3,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2． (3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小． 如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3, 所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/==5. 又因为EF=,所以FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值为5+. 本题第（3）问是一个拓展问题，在两条直线上分别找一个点使与两个点相连构成的四边形周长最小问题. 例3（2008陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。 如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ ∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×， ∴PE＝DE，∴ P点与E点重合，即AM′过D点。 在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′， 则P′M＝P′M′。 ∵A P′＋P′M′＞AM′， ∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小， 即最小值为AD＋DM＝AM′＝ 方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G， 交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′ ∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN 在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6， ∴MH＝3，∴NE＝MH＝3 ∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。 在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝ 在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点， 连接G′M′，G′M， 显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D ∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD 线路铺设的长度之和最小，即最小值为 GM＋GD＝M′D＝。 综上，∵3＋＜， ∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。 　　本题方案二和方案三都巧妙利用了课本习题的方法和结论，是对课本习题很好的诠释． P O 图② E C y x A D B F P O 图① E C y x A D B F E/ F/ M N O 图③ E C y x A D B F N M P C B A D 北 东 D 30° A B C M O E F 图① 乙村 D 30° A B C M O E