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第二章 控制系统数学模型 提要 1.描述系统各变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等）。 2.建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容，与系统性能密切相关。本章将对系统和元件的数学模型建立、传递函数概念、结构图和信号流图的建立及简化等内容加以论述。 数学模型分为动态模型与静态模型。 a.控制系统的动态模型是指描述变量各阶导数之间关系的微分方程。即线性定常微分方程，可由此分析系统的动态特性。 b.控制系统的静态模型是指在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程。 建立系统数学模型时，必须： (1) 全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。 (2) 根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型。 建立系统的数学模型主要有两条途径： 1.分析法。 2.实验法。即根据对系统的观察，通过测量所得到的输入、输 出数据，推断出系统的数学模型。 第一节 控制系统的时域数学模型 控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描述，微分方程式是系统的一种数学模型。建立系统微分方程的一般步骤如下： (1) 适当简化，忽略一些次要因素。 (2) 根据元件的物理或化学定律，列出相应的微分方程式。 (3) 消去中间变量，推出元件的输入量和输出变量之间关系的微分方程。 (4) 求出其它元件的方程。 (5) 从所有元件的方程式中消去中间变量，最后得到系统的输入输出微分方程。 （一）R-L-C电路 图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式： 二、非线性方程的线性化 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性的。但对于较小的范围内的运动，把这些元件看作是线性元件，因此可以建立线性微分方程。线性微分方程，满足迭加原理和齐次性。 研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，（如图2-2，x0为平衡点，受到扰动后，x(t)偏离x 0，产生Δx(t)，Δx(t)的变化过程，表征系统在x0附近的性能） 可用下述的线性化方法得到的线性模型代替非线性模型来描述系统： 设连续变化的非线性函数为y = f(x)。取某平衡状态A为工作点，即 。当 时， ，设函数f(x)在 连续可微，则在该点附近用泰勒级数展开为： * 图2-1 R-L-C 无源电路 （2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系： (3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出 微分方程式： 或 (2.4) (2.3） 式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。 式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。 图2-2 小偏差过程 (2.5) 当 很小时，略去高次幂相，则 (2.6) 则略去增量符号，可得到在工作点附近的线性化方程 图2-3 小偏差线性化示意图 图2-4 RL网络 例2-3，设铁芯线圈电路