2014新人教B版必修四《向量数量积的物理背景与定义》word同步测试.docVIP

2.3.1 一、选择题 1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　) A．a＝b B．a≠b C．|a|＝|b| D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等 [答案]　D [解析]　∵a·c＝b·c， ∴|a|·|c|cosa，c＝|b|·|c|cosb，c， 即|a|cosa，c＝|b|cosb，c，故选D. 2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于(　　) A．150°　　　B．120° C．60° D．30° [答案]　B [解析]　cosθ＝＝＝－.∴θ＝120°. 3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　　) A．2 B. C．2 D．4 [答案]　C [解析]　a在b方向上的投影为|a|cosa，b＝4×cos30°＝2. 4．|m|＝2，m·n＝8，m，n＝60°，则|n|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案]　D [解析]　∵＝cosm，n， ∴＝，∴|n|＝8. 5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　) A．－5 B．5 C．－5 D．5 [答案]　A [解析]　a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－5. 6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　C [解析]　b·b＋a·b＝|b|2＋|a|·|b|cosa，b＝4＋1＝5. 7．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [答案]　B [解析]　A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确． 8．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　cosa，b＝＝＝， 又∵a，b∈[0，π]，∴a，b＝. 二、填空题 9．(2009·江苏)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____. [答案]　3 [解析]　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos30° ＝2××＝3. 10．已知|a|＝4，|b|＝6，且a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的正射影的数量为________． [答案]　－2 [解析]　∵|a|＝4，|b|＝6，a·b＝－12， cosa，b＝＝＝－， ∴a在b上的正射影的数量为|a|·cosa，b＝－2. 11．已知△ABC中，||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状为________． [答案]　等边三角形 [解析]　∵·＝8，∴||·||cos，＝8，∴4×4×cos，＝8， ∴cos，＝，∴，＝60°， 又||＝||，∴三角形是等边三角形． 12．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________． [答案]　－3 [解析]　∵a＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°， ∴a与b方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－)＝－3. 三、解答题 13．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·. [解析]　∵C＝60°， ∴，＝120°， 又||＝a＝5，||＝b＝8， ∴·＝||·||· cos， ＝5×8×cos120°＝－20. 14．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积． (1)·； (2)·； (3)·； (4)·. [解析]　(1)∵，P1P3＝，||＝2. ∴·＝||·||cos ＝2×2×＝6. (2)∵，＝，||＝4， ∴·＝4×4×cos＝4. (3)∵，＝， ∴·＝0. (4)∵，＝， ∴·＝2×2×cos＝－2. 15．在△ABC中，三边长均为1，设＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值． [解析]　∵|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴a，b＝120°，b，c＝120°，c，a＝120°， ∴a·b＝|a||b|cos120°＝－， b·c＝|b||c|cos120°＝－， c·a＝|c||a|cos120°＝－， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 16．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围． [解析]　∵方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根， ∴Δ＝|a|2－4a·b≥0， ∴a·b≤|a|2.