二阶变系数线性微分方程解法地研究综述.pdfVIP

二阶变系数线性微分方程解法的研究综述 ·575· 二阶变系数线性微分方程解法的研究综述木 赵临龙 陕西省安康师专数学系安康市，725000 摘要利用二阶线变系数性微分方程的不变量解法，将文献【1“】的解法统一起来，以显 示不变量解法的优越性． 关键词二阶变系数线性微分方程；不变量；解法 由于二阶变系数线性微分方程通常是不可积的，这就是它成为人们讨论的热点问题 之一．2004年来，有代表性的文献【l~6】，给出了二阶变系数线性微分方程的新解法．今 利用二阶变系数线性微分方程不变量解法将其统一起来，以显示不变量解法的优越性． 1．二阶变系数线性微分方程的新解法 1．1可积充分条件 对于二阶变系数线性微分方程： 。 Y”“№y+Q(x)y=O ．(1) 少7+尸@矿+∞沙=“曲 (1’) 其中函数地)、∞)、似)连续． 定理1【11方程(1’)可积的充分条件是：存在可导函数瞰)满足 驴悼一∥∞一雕)附)一∞) (2) 定理2【21方程(1’)可积的充分条件是：存在可导函数g∞(≠0)满足 q2G)(七、c为常数) (3) Q(x)=kq20)，矿O卜地蛔0)=c 满足 荆=bGG)一[G’O)／G∽】一2荆 (4) (5) Q·O户∥O)一尸∽一F(x)(bG(x)一G，∞／G@)卜cG2G) 定理4【41方程(1)可积的充分条件是：函数心、旦协)满足以下关系之一 尸∞=9∽ (6) 2P(x)=1—49∽ (7) k ’陕西省教委专项基金项H(99j092) 赵临龙(1960．)，男(汉J．陕西西安人，大学本科，教授，从事微分方程研究 576· 数学、力学、物理学、高新技术研究进展——2008(J2)卷 Q2∽+【尸鼢1】Q(x)+Q’G)=0 (8) 1．2 Riccati方程解法 定理515】对于方程(1)，若存在可导函数z∽为Riecati方程 zr∞=一矛(x)--尸∽Z∽+Q(x) (9) 的解，则方程(1)的通为 Y=弘)出【cI几e-J雄脚e2J剐d》c2] (10) “预解方程”解法 定理6【6】对于方程(1)，若其预解方程 Ae一凇。m一(1／2)z7∽一(1／4)z2(x)--t(x)(△为常数)(11) 2．二阶线性微分方程的不变量解法 1998年，赵临龙‘71给出二阶变系数线性微分方程的不变量解法． 定理7i7~81对方程(1’)，若存在可导函数妒0)(下简单记为妒)，满足不变量关系