2015高考数学题库(新)-函数与导数5.docVIP

19. 已知函数()是偶函数． 求的值； 函数的图与直线设，若函数与的图有且只有一个公共点，求实数的取值范围为偶函数，所以， 即 对于恒成立. 于是恒成立, 而x不恒为零，所以. (2) 由题意知方程即方程无解. 令，则函数的图象与直线无交点. 因为 任取、R，且，则，从而. 于是，即， 所以在上是单调减函数. 因为，所以.所以b的取值范围是 (3) 由题意知方程有且只有一个实数根．令，则方程有且只有一个正根，不合；，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由或，不合；； 综上所述，实数的取值范围是．，，试根据实数的取值范围，讨论函数与的图象的公共点个数. 解：（1）时，公共点个数为2个；（2）或时，公共点个数为1个； （3）且时，公共点个数为0个. 19. 设函数，，其中，是常数. 已知曲线与在点处有相同的切线. （1）求的值，并写出切线的方程； （2）若方程有三个互不相同的实根，其中，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 解：（1），切线的方程为；（2） 19. 已知函数(a＞0)，xR． 求f(x)的单调区间和极值； 若对于任意的x1(2，+∞)，都存在x2(1，+∞)，使得f(x1)·f(x2)=1．求a的取值范围．19．(I)解：由已知，有f′(x)=2x－2ax2(a＞0)．令f′(x)=0，解得x=0或． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 f′(x) － 0 + 0 － f(x) 0 ↗ ↘ 所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，． 当x=0时，f(x)有极小值，且极小值为f(0)=0； 当时，f(x)有极大值，且极大值为． (II)解：由f(0)==0及(I)知，当时，f(x)＞0； 当时，f(x)＜0． 设集合A={f(x)｜x((2，＋∞)}，集合B=． 则“对于任意的x1((2，＋∞)，都存在x2((1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A(B，显然0(B． 下面分三种情况讨论： (1)当，即时，由可知，0(A，而0(B， 所以A不是B的子集． (2)当，即时，有，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减， 故A=(－∞，f(2))，因而A((－∞，0)；由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)(B．所以，A(B． (3)当，即时，有f(1)＜0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故，A=(－∞，f(2))，所以A不是B的子集． 综上，a的取值范围是．，函数. （1）若在处函数取得极大值，求实数的值； （2）若函数，，在处取得最大值，求实数的取值范围. 解：（1）；（2） 18. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若在区间上的最小值为8，求的值． 函数 （）讨论的单调性； 若函数在区间上是增函数，求的取值范围． 【解】（1）的判别式 （ⅰ）若则且当且仅当故此时在上是增函数 （ⅱ）由于，故当时，有两个根： 若则当或时故分别在是增函数； 当时故在是减函数； 若则当或时故分别在是减函数；当时故在是增函数 当时，故当时，在区间是增函数 当时，在区间是增函数当且仅当解得 综上，的取值范围是 由已知得即在区间恒成立 原题等价于在区间恒成立，其中 在区间是增函数 即，从而 又 综上，的取值范围是 已知函数.已知函数有两个零点，且. （）求； （）证明的减小而增大； （）随着的减小而增大. 【解析】本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. （）解：，可得. 下面分两种情况讨论： （1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意. （2）时， 由，得. 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － ↗ ↘ 这时，的单调递增区间是；单调递减区间是. 于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°；2°存在，满足； 3°存在，满足. 由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是. （Ⅱ）证明：，有. 设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，. 由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.对于任意的，设，，其中；，其中. 因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得. 又由，得. 所以，随着的减小而增大. （）证明：，，可得，. 故. 设，则，且解得，.所以， . ① 令，，则. 令，得. 当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增. 因此，由①可得随着的增大