2015高考数学题库(新)-数列4.docVIP

20．设满足以下两个条件的有穷数列为阶期待数列： ；． （）等数列为 ()阶期待数列，； （）若一个等差数列是 ()阶期待数列，求该数列的通项公式； （）记阶期待数列的前项和为（）证：；使，试问数列能否为阶期待数列 20．，则由①=0，得， 由②得或． 若，由①得，，得，不可能． 综上所述，． （2）设等差数列的公差，，∴， ∴， ∵0，由得，， 由题中的①、②得， ， 两式相减得，， ∴， 又，得， ∴． （3）记，，…，中非负项和为，负项和为， 则，，得，， （）． （ⅱ）若存在使，由前面的证明过程知： ，，…，，，，…，， 且…． 记数列的前项和为， ∴=，而， ∴，从而，， 又…， 则， ∴， 与不能同时成立， 所以，对于有穷数列使，则数列和数列不能为阶期待数列 20. （本小题满分16分） 对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．例如对于实数，无穷数列满足如下条件： ， 其中 （1）若，求数列的通项公式； （2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合； （3）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论． 20. 解：（1） ， ……….2分 若，则 所以 ……………………………………4分 ， 所以 ，从而 ①当时， 所以 解得： （，舍去） ……………….6分 ②当 ，即 时，， 所以 解得 （ ，舍去） ………………8分 当 时， 解得 （ ，舍去） 综上，，，. ………………10分 成立. 由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且）由，可得； …………………………………12分 若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，，可得若则， 若均不为0，则这正整数互不相同且都小于， 但小于的正整数共有个，矛盾. 故中至少有一个为0，即存在，使得. 从而数列中以及它之后的项均为0，所以对大于的自然数，都有……………………………………………16分 19．（本小题满分16分） 已知数列，满足，，，． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以， 则， 2分 所以， 又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，4分 即，所以． 6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，， 若，成等差数列，则（）， 因为，所以，， 所以（）不成立． 9分 ②当时，若，成等差数列， 则，所以， 即，所以，12分 满足题设条件，，此时，14分 ，，， 即．15分 综上，当时，不存在满足题设条件； 当时，存在，满足题设条件．16分 满足：，，． ⑴若，求数列的通项公式； ⑵设，数列的前项和为，证明：． 19．⑴若时，，，所以，且． 两边取对数，得，……………………………………………………2分 化为， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分 所以，所以．………………………………………6分 ⑵由，得，① 当时，，② ①②，得，…………………………………………8分 由已知，所以与同号．…………………………………………10分 因为，且，所以恒成立， 所以，所以．………………………………………………………12分 因为，所以， 所以 ．…………………………………………………………16分 20. 设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上： 命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数。 若是的充分条件，求的值； 对于中的与，问是否为的必要条件，请说明理由； 若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值20．解：（1）设的公差为，则原等式可化为 所以， 即对于恒成立，所以…………………………………………………4分 （2）当时，假设是否为的必要条件，即“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”. 当时，显然成立.……………………………………………………………………………6分 当时，②，由①-②得， ，即③. 当时，，即、、成等差数列， 当时，④，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件. ……………………………………………………………………………………………………10分 (3)由，可设，所以. 设的公差为，则，所以， 所以， ，所以的最大值为……………16分 20．（本小题满分16分） 已知各项均为正整数的数列满足，且存在正整数，使得，．