44一道关于反射的高考试题的解.pdfVIP

·44· 中学数学研究 2014年第12期 为解法一是正确的．其实对照上述两种解法，我们不 纳法时得小心翼翼，不敢越雷池一步，于是我们硬着 难看出，解法一中将“猜想出的通项公式口。=以n) 头皮也得做一下已经做好了的表面工作，即还要验 代入n川=以o。)的两端，验证一下是否相等”，实证n=1这一步，否则就会认为不符合数学归纳法 质上就是解法二数学归纳法的第二步，只不过表达 证明问题的要求而认为是错误的解法，这样一来，无 形式不同罢了．但是可能有的老师会提出这样的问 形中就会制约着我们师生的思考方式，极易形成消 题：因为解法一所得到的通项公式只是根据前几项 极的思维定势，一旦遇到与正整数有关的命题，若运 的规律归纳出来的，故认为这样得出的数列通项公 用数学归纳法解决，就不管青红皂白，一律严格地按 式不一定可靠，也就是说除了猜想出来的通项公式 照数学归纳法的两步骤去操作，正是因为此原因，我 外，是不是还存在满足条件递推式的其他形式的通 想我们的教师对于解法一不能理解，甚至认为是错 项公式?然而我们值得注意的是，利用数学归纳法求 解也就不足为怪了．其实，从整个解题过程来看，解 数列通项公式时，也是先根据前几项的规律归纳出 法一与解法二貌异质同，比较而言，解法一更是一种 数列通项公式，第二步虽是严格的证明，但它并不是 简解，因为它没有搞形式主义，就使问题获证了．因 证明数列通项公式的唯一性问题，而证明的仍然是 此笔者认为若利用“归纳——猜想——证明”的思 猜想结论的正确性的问题，至此我们对解法一的错 维模式求解数列通项的最后一步证明可以不使用数 误认识该转变了吧? 学归纳法来证明，即依照上述解法一使用验证的方 通过上述分析可以看出，解法一不仅不是错 法也可，值得大家借鉴!再如，2010年重庆理科第21 解，反而是巧解．其实，这种简单的解法实质上就是 大家熟知的同一法，与数学归纳法是一脉相承的，之 所以大家认为是错解，笔者认为主要是受数学归纳 公式；(Ⅱ)略．解答此题时先由口，、。：、口，、口。这四项 法的两个步骤太模式化、程序化了的影响造成的，实 不难归纳猜想出数列的通项公式为o。=(凡2一1)c“ 际上，解法一只不过是解法二的简化．因为在利用 “归纳——猜想——证明”之法求数列的通项公式 1)(n∈Ⅳ+)成立，从而使问题较快得到解决，读者 这类问题时，最后运用数学归纳法证明这一步往往 不妨一试，这样的例子较多，不再一一列举． 有重复性的劳动发生．例如对于本例数列{o。}而 综上所述，知今后在求数列通项公式时，可以考 言，先由口。、口：、口，、n。这四项归纳猜想数列的通项公 虑利用“归纳猜想——代入验证”之法求数列的通 ，，n 1 项公式，即只要能通过初始值和给出的数列各项的 式o。=竺=}(n∈Ⅳ+)，接着用数学归纳法证明 Z 关系，能唯二确定这个数列，那么只需要将你猜想出 ， 1 来的公式代入验证即可，如果代入递推关系式成立， 时，第一步就是要验证n=l时，n。=掣成立， Z 则就可说明归纳猜想的式子就是数列的通项公式． ，一 1 这一步显然是多此一举，因为o。=等就是根据 通过笔者对“归纳猜想——代入验证”之法正 Z