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48 数学通报 2014年第53卷第11期 这条直线到底存不存在 ——与2013高考数学浙江卷第15题的商榷 季明银 (江苏省常州市第二中学213000) 2013浙江高考数学第15题： 否存在?本文将分别从中学数学教学和教材的角 设F为抛物线C：Y2—4x的焦点，过点度来研究、探讨这条直线的存在性与合理性，与大 家交流． P(一1，o)的直线z交抛物线C于两点A，B，点Q 1从中学数学教学的角度 为线段AB的中点，若lFQI=2，则直线l的斜率 等于 ． 为了更充分地研究这条直线的存在性与合理 详细解法：由题意可知直线Z的斜率存在且 性，在教学过程上，笔者利用学生平时检测的机会 不为0，记为k，设A(z。，Y1)，B(zz，Y：)． 特地对此题进行了调研，考试完毕后，对数据进行 了统计、分析：85％左右的学生都填写的结果为“k 则直线￡：y一点(z+1)与抛物线C：y2—4x联立方 程组得： 一±1”，5％左右的同学没有填写任何结果(空 k222+(2k2—4)z+k2—0，(*) 白)，1％左右的同学填了“此题中的直线不存在”， Xl-}-X2--—4--矿2k2，z1．z2—1， 其余的填写的是其它结果．通过交流了解到学生 丁’z1’z2—1’ 的想法：没有填写任何结果的同学除了极个别的 因此有zQ一旦{旦一生≠，yQ一詈， 同学不会做以外，他们做完此题后通过检验发现 直线与抛物线相切，认为满足题设条件的直线不 因为fFQf一2，由两点间距离公式得 存在，所以不敢填；在填写了结果为“k一±1”的同 学里有相当多的同学表示，这道题在做的时候花 fVQf一√(学一·)2+(要)2毛 了他们很多时间，因为在做此题时通过检验也发 解之得k2—1，即惫一±1， 现此时直线与抛物线相切，并不是题目所说的相 这也就是命题组所提供的标准答案． 交于两点，但是他们计算的结果(至少三次)都是 分析本题重点考查了解析几何中直线与圆 “k一±1”，最终实在没办法才填了这个结论． 锥曲线的位置关系、弦的中点、两点间距离等基本 在中学数学里，有一些概念的规定是比较绝 知识．本题考察全面，注重了知识内在联系的考 对的，如直线与曲线交于两点就是不同的两点．在 查，体现了考试要求．事实上，若将k一士l代人 研究直线被曲线截得的弦长、中点有关问题时，都 (*)式，此时A0，(*)式所对应方程的解为z， 必须在直线与曲线相交的前提条件下进行研究 —z。一1，即方程只有两个相等的实数解，此时直 (即有两个不同的交点)，如果认为两个点重合到 线z与抛物线只有一个公共点；但题设中的条件 一点是其退化的情况，将会混淆直线与曲线的位 是“直线z与抛物线c相交于两点A，B”，那么此置的关系的界定，对直线与曲线这一章的教学产 时这条直线到底存在不存在? 生不利的