1.3.1 单调性和最大(小)值 第1课时 函数的单调性.ppt

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 1.理解单调函数的定义；（重点） 2.理解增函数、减函数的定义；（重点） 3.掌握定义法判断函数单调性的步骤；（难点） 4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间. 3. 证明函数的单调性的基本步骤是： （1）取值； （2）作差变形； （3）定号； （4）判断. 引入1 如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图： 引入2 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据 数据表明，记忆的数量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图： 1 2 3 t y o 20 40 60 80 记忆的数量(百分数) 天数 100 思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个实验， 你打算以后如何对待刚学过的 知识? 思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？ 1 2 3 t y o 20 40 60 80 100 记忆的数量(百分数) 天数 我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律. 探究点 函数单调性的定义 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随 着自变量的___________的性质我们称之为“函 数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的 一个区间上函数值随着自变量的___________的 性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”. 如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？ 增大而增大 增大而减少 对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+∞）上随 自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间 （0，+∞）上任取两个实数x1,x2,得到函数值 f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1x2时，有____________ 请同学们用数学语言描述函数f(x)在（-∞，0]上 函数值随自变量的增大而减小的情况. f(x1)f(x2). 一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值 ，当 时，都有___________，那 么就说函数 在区间D上是增函数． 函数单调性的相关概念 f(x1)f(x2) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值 ，当 时，都有___________，那 么就说函数 在区间D上是减函数． 如果函数y=f(x)在区间D上是_______________， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做y=f(x)的单调区间． f(x1)f(x2) 增函数或减函数 第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); 对函数单调性的理解 第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; 第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的. 例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数? 解：函数 的单调区间有 其中 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数． 整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖， 中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤 然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳 下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00— 20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并 说出所画函数的单调区间. 解：单调增区间是 [8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20]. 【变式练习】 作差变形 定号 判断 取值 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1V2, 所以，函数 V∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积减小时，压强p将增大. ①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1x2; ②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; ③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论; ④判断：根据定义得出