3.2 多元线性回归估计问题.pptVIP

§3.2 多元线性回归模型的估计 估计方法：OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计 对于随机抽取的n组观测值 *二、最大或然估计 对于多元线性回归模型 *三、矩估计（Moment Method, MM） OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组 四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数?的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。 五、样本容量问题 所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。 六、多元线性回归模型的参数估计实例 例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。 * 一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计 *三、矩估计 四、参数估计量的性质 五、样本容量问题 六、估计实例 如果样本函数的参数估计值已经得到，则有： i=1,2…n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 其中 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组： 正规方程组的矩阵形式 即 由于X’X满秩，故有 将上述过程用矩阵表示如下： 即求解方程组： 得到： 于是： 例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中， 可求得 于是 ?正规方程组 的另一种写法 对于正规方程组 于是 或 (*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法 (*) (**) ?样本回归函数的离差形式 i=1,2…n 其矩阵形式为 其中 ： 在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 ?随机误差项?的方差?的无偏估计 可以证明，随机误差项?的方差的无偏估计量为 易知 Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率 即为变量Y的或然函数 对数或然函数为 对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。 因此，参数的最大或然估计为 结果与参数的普通最小二乘估计相同 并对它进行求解而完成的。 该正规方程组 可以从另外一种思路来导: 求期望 : 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。 由此得到正规方程组 解此正规方程组即得参数的MM估计量。 易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。 矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和广义矩估计方法(Generalized Moment Method, GMM)的基础 在矩方法中关键是利用了 E(X’?)=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。 如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性 其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性 这里利用了假设: E(X’?)=0 3、有效性（最小方差性） 其中利用了 和 ⒈ 最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即 n ? k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1 2、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度： n?30 时，Z检验才能应用； n-k?8时, t分布较为稳定 一般经验认为: 当n?30或者至少n?3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明 解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1) 估计区间：1979~2000年 *