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* * 第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形 (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一; (2)求弦长及角 (1)PA·PB=PC·PD; (2)△ACP∽△DBP 弦AB、CD相交于圆内点P 相交弦定理 应用 结论 条件 基本图形 定理 名称 (1)求线段PA、 PB、PC、PD及AB、CD;(2)应用相似求AC、BD (1)PA·PB=PC·PD;(2)△PAC∽△PDB PAB、PCD是⊙O的割线 割线定理 (1)已知PA、 PB、PC知二可求一;(2)求解AB、AC (1)PA2=PB·PC;(2)△PAB∽△PCA PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线 切割线定理 互补 互补 【2013年高考会这样考】
1.考查相交弦定理,切割线定理的应用.
2.考查圆内接四边形的判定与性质定理.
【复习指导】
本讲复习时,紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理,重点以基本知识、基本方法为主,通过典型的题组训练,掌握解决问题的基本技能.
基础梳理
1.圆中的比例线段
2.圆内接四边形
(1)圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角.
(2)圆内接四边形判定定理:
如果四边形的对角,则此四边形内接于圆;
若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等,则此两点与线段两个端点共圆,特别的,对定线段张角为直角的点共圆.
双基自测
1.(2011·天津)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若PB=1,PD=3,则的值为________.
解析 ABCD为圆内接四边形,PBC=ADP,又P=P,BCP∽△DAP,==.
答案
2.(2011·广州调研)如图,四边形ABCD内接于O,BC是直径,MN与O相切,切点为A,MAB=35°,则D=________.
解析 连接BD,由题意知,ADB=MAB=35°,BDC=90°,故D=ADB+BDC=125°.
答案 125°
3.(2011·深圳调研)如图,AB是O的直径,D是O上一点,E为的中点,O的弦AD与BE的延长线相交于点C,若AB=18,BC=12,则AD=________.
解析 如图,连接AE,AB是O的直径,
AE⊥BE,又E是的中点,
BAE=EAC,
从而E是BC的中点,
BE=EC=6,AB=AC=18,
由CD·CA=CE·CB,得(18-AD)×18=6×12,故AD=14.
答案 14
4.(2011·广州模拟)如图,过点D作圆的切线切于B点,作割线交圆于A,C两点,其中BD=3,AD=4,AB=2,则BC=________.
解析 A=DBC,D=D,
ABD∽△BCD,=,解得BC=.
答案
5.如图所示,已知O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为________.
解析 由相交弦定理知,
EA·EB=EC·ED.(*)
又E为AB中点,AB=4,DE=CE+3,
(*)式可化为22=EC(CE+3)=CE2+3CE,
CE=-4(舍去)或CE=1.
CD=DE+CE=2CE+3=2+3=5.
答案 5
考向一 相交弦定理的应用
【例1】(2011·广东实验中学质检)如图,半径为2的O中,AOB=90°,D为OB的中点,AD的延长线交O于点E,则线段DE的长为________.
[审题视点] 由勾股定理求AD,再由相交弦定理求DE.
解析 延长DO交圆O于另一点F,易知OD=1,则AD==.由相交弦定理得,AD·DE=BD·DF,即·DE=1×3,DE=.
答案
相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明,解题时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用 .
【训练1】 (2011·广东)如图,AB、CD是径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,OAP=30°,则CP=________.
解析 依题AP=PB=a,由PD·CP=AP·PB,得CP==a.
答案 a
考向二 切割线定理的应用
【例2】如图所示,PA为O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5,BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E,求AD·AE的值.
[审题视点] 由切割线定理知PA2=PB·PC,可得直径BC的长,要求AD·AE,由ACE∽△ADB,得AD·AE=CA·BA,只要求出CA,BA的长即可.
解 如图所示,连接CE,PA是O的切线,PBC是O的割线,
PA2=PB·PC.又PA=10,PB=5,PC=20,BC=15.
PA切O于A,
PAB=ACP.
又P为公共角,PAB∽△PCA.
∴===.
∵BC为O的直径,CAB=90°.
AC2+AB2=BC2=225.AC=6,AB=3.
又ABC=E,CAE=EAB,
ACE∽△AD
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