2013届高考数学(理)复习讲议：第3讲 二项式定理(人教A).docVIP

第3讲　二项式定理 【2013年高考会这样考】 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用． 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数． 式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C＝C. (2)增减性与最大值： 二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值； 当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值． (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负． 一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性； (2)增减性； (3)各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结． 双基自测 1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)．A．80 B．40 C．20 D．10 解析　Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr， 当r＝2时，T3＝40x2. 答案　B 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)． A．45 B．55 C．70 D．80 解析　(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29 由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70. 答案　C 3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)．A．9 B．8 C．7 D．6 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 a0＋a2＋a4＝8. 答案　B 4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中nN且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr 由已知条件35C＝36C 即C＝3C ＝3 整理得n＝7 答案　B 5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________. 解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r 由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C， a10＋a11＝C－C＝0. 答案　0 考向一　二项展开式中的特定项或特定项的系数 【例1】已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键． 解　通项公式为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx. (1)第6项为常数项， r＝5时，有＝0，解得n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6)＝2， x2的项的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意知令＝k(kZ)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，r∈Z，k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 求二项展开式中的指定项，一般是利用通