2015步步高高中数学文科文档5.3.docVIP

§5.3　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥ba·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0. 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　) (3)△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是等腰三角形．(　√　) (4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．(　×　) (5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　) (6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ－或λ0.(　×　) 2．(2012·陕西)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　) A. B. C．0 D．－1 答案　C 解析　利用向量垂直及倍角公式求解． a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 3．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于(　　) A．150° B．90° C．60° D．30° 答案　D 解析　|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos 60°＝12， ∴|a＋2b|＝2， a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cos θ ＝2×2cos θ＝4cos θ， 又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos 60°＝6， ∴4cos θ＝6，cos θ＝，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D. 4．在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案　B 解析　表示在方向上的单位向量． 设△ABC各边分别为a，b，c，则＝b·cos A＝1， 同理，＝a·cos B＝2. 由余弦定理可得 解方程组得c＝3或0(舍)．故选B. 5．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的动点，则·的最大值为________． 答案　1 解析　如图，·＝||·||·cos θ＝||·cos θ， ||cos θ＝DT(DE在DC上的投影为DT)，显然DT的最大值为1，∴(·)max＝1. 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 思维启迪　(1)∠C＝90°，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义； (2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义． 答案　(1)D　(2)1　1 解析　(1)方法一　·＝(－)·(－) ＝－·＋2＝16. 方法二　∵在方向上的投影是AC， ∴·＝||2＝16. (2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1