FEM_ch4_有限元法求解平面问题.ppt

复习： 复习 例题： 例题： 例题： (3) 对角元素乘大数法 令： 第七节 边界条件处理 求解 由具体结构及给定条件，绘计算简图---尺寸、外载荷、约束等； 有限元法的求解步骤： 选定坐标系，划分单元，单元与节点编号（整体编号，局部编号）； 计算单刚矩阵：单元面积 A， , ，形成单刚； 组集总刚； 载荷移置； 边界处理； 求解线性方程组。 第七节 边界条件处理 求解 第七节 边界条件处理 求解 有限元法程序设计: 划分单元 输入参数: （坐标，编码，材料常数，载荷，约束） 计算：形成单刚子程序 形成总刚子程序 形成载荷子程序 边界处理子程序 解线性方程组子程序 计算结果处理（整理，分析，显示） 前处理（Preprocessor） 求解（Solution） 后处理(Postprocessor) 解: (1) 对称问题处理：几何形状，边界约束， 和载荷均关于 x 轴和 y 轴对称。 单元号 总体 局部 节 点 单元① 单元② i j m i j m 1 2 3 3 4 1 如图为厚度为t的矩形薄板。两端受均布拉力1N/m，板长2m，宽1m,材料常数为 E ， ，在不计自重的情况下，试用有限元法求板内应力分布。 3 1 = m 有限元求解例： （2）划分单元，单元及节点编号 i, j, m 逆时针方向编码，保证单元面积为正 (3) 求单刚矩阵： 以单元①为例： 有限元求解例： ① ② 有限元求解例： 单元② 可通过单元① 的逆时针旋转而得到： （4）组集总刚矩阵 i j m i j m ① ② ① ① ② 对称 ② 以子块 为例： 有限元求解例： (5) 边界条件处理： 分别对应于节点位移矩阵的第1、2、4、7行，划去总刚矩阵的第1、2、4、7行与列，得到： 对称 (6) 载荷移置： 有限元求解例： 对称 对称 (7) 求解线性方程组： ① ① ① ② ② ② 有限元求解例： 作业： 本章作业 ,P.141: 6-1, 6-2, 6-5, 6-7(a,b,c,图任选一)， 6-9 可直接用P.124的单刚 * 将作用于单元上的各种外荷载，按静力等效原则移置到结点上去，化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。 * 1.节点协调原则 整个结构的单元在变形后，应在节点处仍然保证协调地相互连接。如几个单元都在节点i处相聚，则这些单元在节点i处必须有相同的位移。 2。节点平衡原则 整个结构各节点应满足力的平衡条件，即对每个节点而言，环绕该节点的各单元对它作用的节点力合力等于该节点上的载荷 * 单元贡献矩阵用单元刚度矩阵按节点编号扩零，扩阶后的单元刚度方程只不过增加了两个0=0的方程，因此与原方程等价。 用扩阶后的单元刚度矩阵、结构的整体位移微量、扩阶后的节点 力向量代替原来的单元刚度矩阵、单元节点位移、单元节点力向量，不影响虚功及应变能的计算。 * 每一行从第一个非零元素起主对角线元素止的元素个数或 包括对角元素在内的半个带状区域内，每行（或列）包含的最多元素个数 第四节 单元分析 单元刚度矩阵 应力矩阵 应力矩阵子矩阵 （i, j, m） 说明： 为常量，单元应力为常量。三角形单元为常应力单元； 对三角形单元，不同单元之间应力、应变有突变。 位移函数误差量级： 应力应变误差数量级： 即使位移精度满足了要求，应力精度不一定满足要求 措施： a, 细化网格； b, 采用高次单元 权衡计算精度和计算量之间的关系 第四节 单元分析 单元刚度矩阵 2. 单元刚度矩阵 建立节点力与节点位移之间的关系。 (1) 单元刚度矩阵的推导 以单元为研究对象，假想将单元与节点i 切开，节点作用于单元上的力，称为节点力。 令节点 产生了一组虚位移： 相应单元虚位移： 相应单元虚应变： 由虚功方程：外力（节点力 ）在虚位移（节点虚位移　 　）上的虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功，即： 第四节 单元分析 单元刚度矩阵 （ 与坐标 x, y 无关） 对任意虚位移