毕业论文--范德蒙行列式的推广及其应用.doc

范德蒙行列式的推广及应用 目录 摘要 引言 第一章 定义…………………………………………………………… 定义的证明……………………………………………………… 推广定义及证明………………………………………… 性质…………………………………………………………………… 第二章 1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用…………………………………… 2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用………………………………… 3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用………………………… 4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用…………………………… 第三章 1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用……………………………… 2、利用编程计算范德蒙行列式……………………………………………… 第四章 结论………………………………………………………………… 参考文献…………………………………………………………… 第一章 一、1.1定义 我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。 当我们遇到这样一个数学问题：过平面上n个不同的点 (=1，2，…，n )且 (=1，2，…，n)各不相同，是否存在唯一的一条n1次曲线 ， 其中，是待定系数，经过这n个不同的点呢?这个问题就等价于下面的线性方程组 关于待定系数是否存在唯一的解．根据克莱姆法则，只需考虑方程组(1)的系数行列式的值，其系数行列式为 因此只需计算行列式(2)的值．这个行列式(2)就称为n 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式 下面我们来证明，对任意的 阶范德蒙行列式等于 这n 个数的所有可能的差（1≤j＜i≤n） 我们对作归纳法. （1）当时， 结果是对的. （2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在 中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有 ()()() 后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明. 用连乘号，这个结果可以简写为 由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是 这n个数中至少有两个相等. 这是用数学归纳法证明的，下面我们在用定理证明 已知在级行列式 中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的 乘积 ，在 = 中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得 = 根据上述定理 = 提出每一列的公因子后得 = 最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有 = 1.2行列式的性质 利用行列式的性质容易推得： 若将范德蒙行列式逆时针旋转可得 若将范德蒙行列 若将范德蒙行列式 1．3范德蒙行列式的推广定义及证明 利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。 常见的化法有以下几种： 所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。 例1 计算 解：由范德蒙行列式的性质3得 2.1.1用提取公因式计算行列式 例2 计算 解：中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按递增次序排列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得 上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故 . 2.1.2调换各行（或各列）的次序计算行列式 例3 计算 解：本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使 中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行……第2行依次与上行交换直至第n行，于是共经过n+(n-1)+(n-2)+ 次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式： 2.1.3用拆行（列）计算行列式 若第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，