概率论和数理统计6-3讲义.pptVIP

数理统计 数理统计 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . 第四节 区间估计 置信区间定义 置信区间的求法 单侧置信区间 课堂练习 小结 布置作业 一、 置信区间定义 满足 设 是 一个待估参数，给定 X1,X2,…Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平（置信度 )为 的置信区间. 和 分别称为置信下限和置信上限. 若由样本 置信度和置信区间的意义: 置信区间的长度反映估计的精度； 置信度反映估计的可靠度. ~ N(0, 1) 选 的点估计为 , 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1 设X1,…Xn是取自 的样本， 明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？ 寻找未知参 数的一个良 好估计. 解 一个包含待估参数的样 本的的函数 ，其分布为 已知. 于是所求 的 置信区间为 对给定的置信水平 有 从中解得 对于给定的置信水平, 根据U的分布，确定一 个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信水平. 从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T=T(X1,X2,…Xn) 3. 从T出发寻找一个含待估参数 的样本 的函数 W=W(X1,X2,…Xn),且其分布为已知. 5.将不等式 等价变形为 4. 对于给定的置信水平 ，根据W的分布，确定常数a, b，使得 注意：给定样本，给定置信水平 ，置信区间也 不是唯一的，区间的长度各不相同。 ~N(0, 1) 上例中 取不同的a,b,可得到不同的置信区间 在概率密度为单峰且关于 y 轴对称的情形，如标准正态分布和t 分布,当a =-b时求得的置信区间的长度为最短. 在置信水平相同的情况下，我们总是希望置信区间尽可能短. 即使在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间. 第七节、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时, 可将置信上限取为+∞ ，而只着眼于置信下限 ，这样求得的置信区间叫单侧置信区间. 于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量 则称区间 是 的置信水平为 的单侧置 信区间. 定义 称为 的置信水平为 的单侧置信 下限. 对于任意 ,