收敛数列的性质与函数极限的性质课件].09.24.ppt

第二节  极限的基本性质 一、收敛数列的性质 证法1 例1 证明数列 2. 有界性 定理2.2 (收敛数列的有界性) 注 3. 保号性、保序性 证 (1) 推论2.3 (保序性) (2) 收敛数列与其子数列的关系 注 二、函数极限的性质 3. 局部保号性定理2.3 (函数极限的局部保号性) 推论2.3 内容小结 思考与练习 第二章 一、收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性、保序性 4. 收敛数列与其子列的关系 二、函数极限的性质 唯一性 局部有界性 局部保号性 函数极限与数列极限的关系 第二章  1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 即若 则必有 若极限 则极限唯一. ( 用反证法) 及 且 取 因 ? N1 ?N+, 使当 n N1 时, 假设 即当 n N1 时, 从而 使当 n N1 时, 同理, 因 故? N2 ?N+, 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N1 时, 则当 n N 时, 矛盾！ 故假设不真 ! 是发散的. 证 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 对于 则存在 N , 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 于是推得 矛盾！ 区间长度为1 这与 例如: 有界 无界 即若 使 (n =1,2,…). 收敛的数列必定有界. 证 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 即收敛数列必有界. 有 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件. 收敛 有界 关系： 例如, 虽有界，但不收敛 . 数列 推论 无界数列必发散. 定理2.3 (收敛数列的保号性) (1) 若 则 使当n N 时， () () (2) 若 则 a ? 0. () (?) 恒有 且 对 a 0 , 取 (2) 用反证法证明. 注 如： 使当n N 时，恒有 (2) 若 时, 有 证 ( 用反证法) 取 因 故存在 N1 , 使当 n N1 时, 假设 从而 当 n N1 时, 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 则当 n N 时, 便有 与已知矛盾, 于是定理得证. 当 n N1 时, 4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念 称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。 例如, 从数列 中抽出所有的偶数项 是其子数列. 它的第k 项是 组成的数列： 定理2.4 也收敛，且 证 设 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 定理 1° 某 收敛 例如， 但 发散. 2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 . 例如， 发散 ! 1. 唯一性 定理2.1 ( 函数极限的唯一性) 2. 局部有界性 如： (2) 若 则 ? X 0, 函数 f (x) 有界. 使得当 时， (1) 如果 且 A 0 , 则存在 ( A 0 ) (2) 如果 且存在 A ? 0 . 则 ( A ? 0 ). 据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号 据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号 (1) 如果存在 X 0 (或δ 0), 时, 恒有 f (x) g(x) (或 (函数极限的局部保序性) 时, 恒有 问题: 若 f (x) g(x), 能否推出 ？ 例如: 设 当x 0 时, 有 f (x) g (x), 但是 不能！ 1. 收敛数列的性质: 唯一性 , 有界性 , 保号性, 保序性; 任一子数列收敛于同一极限 2. 函数极限的性质: 唯一性 , 局部有界性 , 局部保号性, 局部保序性;