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* * 双曲线的性质(一) 方程 焦点 a.b.c 的关系 图象 定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 2a|F1F2|) F ( ±c, 0) F(0, ± c) 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 1、范围 关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 课堂新授 3、顶点 (1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 x y o -b b -a a 如图,线段 叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做实半轴长;线段 叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长. (见教材P.56) (2) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线 (3) M(x,y) 结论: Q x y o a b 可以看出,双曲线 的各支向外延伸时,与直线 逐渐接近,我们把这两条直线 叫做双曲线的渐近线。 双曲线与渐近线无限接近,但永不相交。 M(x,y) 4、渐近线 N(x,y’) Q 慢慢靠近 x y o a b (1) (2) 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图 (3) 动画演示 类比作椭圆的简图,如何较规范地作出双曲线的图形? 例:画出下列双曲线的图形 (1) 9y2-16x2=144; (2) x2 -y2= 4 . 注:实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线. 0 y x M - 3 3 4 - 4 5、离心率 离心率。 ca0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大。 (1)定义: (2)e的范围: (3)e的含义: (4)等轴双曲线的离心率e= ? ( 5 ) x y o -a a b -b (1)范围: (2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 (3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: (5)离心率: 小 结 或 或 关于坐标 轴和 原点 都对 称 性质 双曲线 范围 对称 性 顶点 渐近 线 离心 率 图象 例1、求双曲线 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。(教材P.58 例3) 解:把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 144 16 9 2 2 = - x y 1 3 4 2 2 2 2 = - x y 5 3 4 2 2 = + 4 5 = = a c e 例题讲解 例2、 注:根据双曲线的标准方程写出渐进线 的方法 方法一: 画以实轴长、虚轴长为邻边的矩形,写出其对角线方程, 特别注意对角线斜率的确定。 方法二: 将双曲线标准方程等号右边的1改为0,即得双曲线的渐进线方程,据此得y=kx的形式。
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