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数学分析考试题
单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分,共20分)
函数在 [a,b] 上可积,那么( )
A在[a,b]上有界 B在[a,b]上连续
C在[a,b]上单调 D在[a,b]上只有一个间断点
2、函数在 [a,b] 上连续,则在[a,b]上有( )
A B
C D
在[a,+∞]上恒有,则( )
A收敛也收敛 B发散也发散
C和同敛散 D 无法判断
4、级数收敛是( )对p=1,2…,
A 充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件
5、若级数收敛,则必有( )
A B C D
6、在[a,b]一致收敛,且an(x)可导(n=1,2…),那么( )
A f(x)在[a,b]可导,且
B f(x)在[a,b]可导,但不一定等于
C点点收敛,但不一定一致收敛
D不一定点点收敛
7、下列命题正确的是( )
A在[a,b]绝对收敛必一致收敛
B在[a,b] 一致收敛必绝对收敛
C在[a,b] 条件收敛必收敛
D若,则在[a,b]必绝对收敛
8、的收敛域为( )
A (-1,1) B (-1,1] C [-1,1] D [-1,1)
9、下列命题正确的是( )
A 重极限存在,累次极限也存在并相等
B累次极限存在,重极限也存在但不一定相等
C重极限不存在,累次极限也不存在
D 重极限存在,累次极限也可能不存在
10、函数f(x,y)在(x0,,y0)可偏导,则( )
A f(x,y)在(x0,,y0)可微 B f(x,y)在(x0,,y0)连续
C f(x,y)在(x0,,y0)在任何方向的方向导数均存在 D 以上全不对
二、计算题:(每小题6分,共30分)
1、
2、计算由曲线和围成的面积
3、求极限
已知,求
计算的收敛半径和收敛域
三、讨论判断题(每小题10分,共30分)
1、讨论的敛散性
判断的敛散性
判断的一致收敛性
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、设f(x)是以T为周期的函数,且在[0,T]上可积,证明
2、设级数收敛,则当时,级数也收敛
参考答案
一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D
二、1、由于在[0,1]可积,由定积分的定义知(2分)
(4分)
、两曲线的交点为(0,0),(1,1)(2分)
所求的面积为:(4分)
3、解:由于有界,(2分)
=(3分)==2(1分)
4、解:=(3分)=(3分)
5、解:,r=2(3分)
由于x=-2,x=2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分)
三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界,所以将其分为
=+(2分)
考虑奇点x=0应要求p-11;奇点x=1应要求p+q1;(4分)当时,由于,知2p+q-11时积分收敛(2分)
所以反常积分满足p2且2(1-p)q1-p收敛,其余发散(2分)
2、解:由于(6分),又发散(2分)
所以原级数发散(2分)
3、解:(6分),由weierstrass判别法原级数一致收敛性(4分)
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、证明:(1)(4分)
(2)(4分)
将式(2)代入(1)得证(2分)
2、证明:(4分)单调下降有界(3分)由Abel定理知原级数收敛(3分)
1
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