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探索直角三角形斜边上的 高与斜边的关系 八（3）班 陈富祥 一、课题研究缘起 最近我们刚刚学完《特殊三角形》这一单元，让我们懂得了等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质，受益匪浅。在学完勾股定理之后，我们突发奇想，想研究一下直角三角形斜边上的高与斜边在长度上的关系。想必通过查询资料与解析例题，必能探寻出其中的联系。 二、普通直角三角形斜边上的高与斜边的关系 例一、有一直角三角形ABC，AB长3m, AC长4m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=32+42=52， ∴ BC=5m； ∵ 直角三角形ABC面积为：（34）/2=6㎡， ∴ BD=（6*2）/BC=（6*2）/5=2.4m。 例二、有一Rt三角形ABC，AB长5m, AC长12m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=62+82=102， ∴ BC=10m； ∵ Rt三角形ABC面积为：（6*8）/2=24㎡， ∴ =（24*2）/BC=（24*2）/10=4.8m。 根据勾股定理，两条直角边a、b,斜边c与斜边上的高h的规律，绘制以下表格： 三角形的边 a的长度 b的长度 c的长度 h的长度 规律 ① 3 4 5 2.4 h=c/2-c/50 ② 51 68 85 40.8 h=c/2-c/50 ③ 6 8 10 4.8 h=c/2-c/50 ④ 9 12 15 7.2 h=c/2-c/50 ⑤ 15 20 25 12 h=c/2-c/50 ⑥ 18 24 30 14.4 h=c/2-c/50 ⑦ 30 40 50 24 h=c/2-c/50 ⑧ 39 52 65 31.2 h=c/2-c/50 当a、b、c、h都取有理数时，斜边c与斜边上的高h的规律为（h=c/2-c/50）。但如果Rt三角形ABC为等腰三角形时，是否还会满足这个规律呢？ 三、等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系 根据我们学过的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而等腰三角形的性质又有等腰三角形三线合一，地边上的中线等于地边上的高，所以等腰直角三角形中斜边上的中线等于斜边上的高，h=c/2。 例三、有一等腰直角三角形ABC，AB长1m, AC长1m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=12+12=2， ∴ BC=根号2m； ∵ Rt三角形ABC面积为：（1*1）/2=1/2㎡， ∴ BD=（(1/2）*2）/BC=（(1/2)*2）/根号2=1/根号2m。 h=1/根号2m,代入（h=c/2-c/50）不符，所以等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系应为h=c/2。 既然已经知道普通直角三角形（a、b、c、h都取有理数）与等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系，那当普通直角三角形a、b、c、h中产生无理数时，他们的关系又会是什么呢？ 四、普通直角三角形（a、b、c、h中产生无理数）斜边上的高与斜边的关系 例四、有一直角三角形ABC，AB长5m, AC长12m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=52+122=132， ∴ BC= 13m； ∵ Rt三角形ABC面积为：（5*12）/2=30㎡， ∴ BD=（30*2）/BC=（30*2）/根号13=60/ 13m。 例五、有一直角三角形ABC，AB长8m, AC长15m, ∠A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=82+152=172， ∴ BC= 17m； ∵ Rt三角形ABC面积为：（8*15）/2=60㎡， ∴ BD=（60*2）/BC=（60*2）/ 17=120/ 17m。 三角形的边 a的长度 b的长度 c的长度 h的长度 规律 ① 5 12 13 60/13 无 ② 8 15 17 120/17 无 ③ 10 24 26 120/13 无 ④ 16 30 34 240/17 无 ⑤ 9 40 41 360/41 无 由于全部直角三角形斜边上的高与斜边的长度关系为h=ab/c，所以当普通直角三角形a、b、c、h中产生无理数时，他们之间的关系规律只有h=ab/c，所以没有其他的存在关系。 五、探索直角三角形斜边上的高与斜边关系的意义 生活中，我们在哪些方面能运用直角三角形斜边上的高与斜边关系呢？ 如建设幼儿园滑滑梯、游乐园滑滑梯，滑滑梯需要支架来支撑。滑滑梯上方顶部与地面正好组成一个直角三角形或直角等腰三角形。怎样做