中国的剩余问题研究.docVIP

中国剩余问题研究 摘要：讨论中国剩余问题，抽象出更一般的数学问题，研究抽象的数学问题得到一般的定理和结论。对中国剩余问题以及具有相同特征的一类问题得到一般的解法和解答。 关键词：剩余问题 抽象 数学问题 一般定理 结论 一般解答 一：引言 中国剩余问题是一类整除性问题，先看下面一个中国古老的问题“韩信点兵”，“韩信带一千五百名士兵打仗，战死四、五百人，三人站一排，多出二人；五人站一排，多出四人；七人站一排，多出六人；问题，士兵还剩下多少人”。 对以上问题，如果设士兵总人数为，则有以下式子： 再看一个中国剩余问题：《物不知数》，“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二；问物有几何？” 对该问题，如果设物共有件，则有以下式子： 二：抽象成数学问题 由于以上两个问题，我们可以得到更一般的数学问题。事实上，我们只需要解决满足以下方程组中的一般形式解： 事实上：若， 故：我们就可以只考虑时的情形。 对于（1）式，若能求得满足以下方程组 中的一般形式解，即再与（1）式中第三个方程结合：得 就可得到在（3）式条件下的一般形式解 依次按上述方法做下去. ······ 得 就得到在（4）条件下的一般形式解： 事实上，由前面的做法，可知:(5式)就是方程组(1)的m的一般形式解. 三.判断问题解决. 由前面的做法,问题的关键就是如何求解满足以下方程组: (其中:p.q.s.l为已知整数,且p,q0;0≤p,0≤lq)的m的一般形式解. 对于满足(6)式中的解的m时候有解成为一个问题,如果有解又应该满足什么条件呢? 下面研究该问题: 故得出以下定理: 定理2.1 满足方程组(60的m的有解的充分必要条件为 证明: 必要性:已经在前面证明,这里不再累述. 充分性: 下面求解方程组(6): 故得出以下定理: 定理2.2 若满足方程组(6)的m有解,则解的形式为: 回归实际问题: 对于引言中的第一个问题: 由定理2.2,方程组的解为: 由定理2.2,方程组的解为: 又由于战死四五百人. 这与韩信所说出的数完全吻合. 故有: 故有: