2009年中考数学热点专题六 图形和证明.docVIP

热点专题六 图形与证明 　　【考点聚焦】学科网 　　图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中．学科网 　　内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理．学科网 　　【热点透视】学科网 　　热点1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明．学科网 　　例1　（2008郴州）如图１，菱形中，分别为、上的点，且．求证：．学科网 　　分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键．学科网 　　证明：∵四边形是菱形，学科网 　　∴，．学科网 　　∵，∴．学科网 　　在与中，，，．学科网 　　∴，∴．学科网 　　点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等．学科网 　　热点2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题．学科网 　　例2　（2008湘潭）如图2，在正五边形中，连结对角线、和，交于．学科网 　　（1）请列出图中两对全等三角形_________________（不另外添加辅助线）；学科网 　　（2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．学科网 　　分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角形全等．学科网 　　解：（1）△ABC≌△AED，△ABC≌△EDC；学科网 　　（2）证明：在正五边形ABCDE中，，学科网 　　∠EAB=∠B=∠BCD=∠CDE=∠DEA，学科网 　　故在△ABC与△AED中，AB=AE，∠B=∠DEA，BC=DE，∴△ABC≌△AED，学科网 　　在△ABC与△EDC中，AB=ED，∠B=∠CDE，BC=DC，∴△ABC≌△EDC．学科网 　　点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题．学科网 　　热点3：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题．学科网 　　例3　（2008常德）如图3，已知，学科网 　　（1）若，求证：；学科网 　　（2）若（m为正数），试猜想GE与GD有何关系（只写结论，不证明）．学科网 学科网 　　分析：证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等，要证明线段GE和GD相等，在辨认三角形全等对应元素时，发现图中没有三角形全等，需要通过合理添加辅助线构造三角形全等．学科网 　　（1）证明：过D作DF∥CE，交BC于F，学科网 　　∠E=∠GDF，学科网 　　∵AB=AC，DF∥CE，学科网 　　∴∠DFB=∠ACB=∠ABC，学科网 　　∴DF=DB=EC．学科网 　　又∠DGF=∠EGC，∴△GDF≌△GEC．学科网 　　∴GE=GD．学科网 　　（2）．学科网 点评：在证明三角形全等时，可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素，或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素．学科网 学科网 　　热点4：定义、命题、定理、互逆命题的考查．学科网 　　例4　（2008永州）下列命题是假命题的是（　　）学科网 　　（Ａ）四个角相等的四边形是矩形学科网 　　（Ｂ）对角线互相平分的四边形是平行四边形学科网 　　（Ｃ）四条边相等的四边形是菱形学科网 　　（Ｄ）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形学科网 　　分析：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键．学科网 　　解：选（D）．学科网 　　点评：本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握，遇到这种题，同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言，便能迅速作出准确判断．学科网 　　热点5：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查．学科网 　　例5　（2008娄底）如图5，已知点在的边上，交于，交于．学科网 　　（1）求证：；学科网 　　（2）若平分，试判断四边形的形状，并说明理由．学科网 　　分析：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握．学科网 　　证明：（1）∵，学科网 　　∴，同理．学科网 　　∵，学科网 　　∴，∴．学科网 　　（2）若平分，四边形是菱形．学科网 　　证明：∵，，学科网 　　∴四边形是平行四边形，学科网 　　∵，∴，学科网 　　∴平行四边形为菱形．学科网