2012-2013年高中常见题型解决方法归纳_专题06_函数单调性的判断、证明与单调区间的求法.docVIP

第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法 【考纲要求】 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。 【基础知识】 区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。 3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。 （2）复合函数分析法 设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）。 （4）图像法 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。 4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法 （2）复合函数法 先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。 （3）导数法 在其对称区间上的单调性相减，如函数。 （2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数。 （3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。 （4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。 （5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。 【方法讲评】 证明函数在区间是增函数。 解：设， 函数在区间是增函数。 例2 求函数的单调区间．[来源:学科网] (1)当x1x2≤－a或a≤x1＜x2时， x1－x20，x1·x2a2， ∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－a]上和在[a，＋∞)上都是增函数． (2)当－a≤x1x20或0x1x2≤a时，x1－x20， 0x1·x2a2，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)， ∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数． 例3 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时， （1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式 解： 【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。 例4 已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）设.如果对任意，，求的取值范围。 解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. . 当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加； 当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少； 当-1＜＜0时，令=0，解得. 则当时，＞0；时，＜0. 故在单调增加，在单调减少. （Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于 ， ① 令，则 ①等价于在（0，+∞）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-∞，-2]. (Ⅰ)当时，讨论的单调性； （Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使 ，求实数取值范围. 例5 设函数，，求函数的单调区间与极值。 + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。 【变式演练4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式； ②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 例6（1）求函数的单调区间； （2）已知若试确定的单调区间和单调性。 解：（1）函数的定义域为， 设， 在上分别是单调递减和单调递增的，在上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。 （2）解法一：函数的定义域为R， 分解基本函数为