2013届高考数学(理)复习讲议：第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(人教A).docVIP

第4讲　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 【2013年高考会这样考】 1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换． 2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】 本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．　　 基础梳理 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，kZ)成轴对称图形． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，kZ)成中心对称图形． 一种方法 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定． 一个区别 由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意 作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域； (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)． A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ 答案　A 2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)． A．T＝6π，φ＝ B．T＝6π，φ＝ C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝ 解析　由题图象知T＝2(4－1)＝6ω＝，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin＝1，又|φ|＜，得φ＝. 答案　C 3．函数y＝cos x(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为(　　)． A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x 解析　由图象的平移得g(x)＝cos＝－sin x. 答案　A 4．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)． A. B. C. D．3 解析　y＝sin＋2向右平移个单位后得到y1＝sin＋2＝sin＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(kZ)． ω＝－k.又ω＞0，kZ， 当k＝－1时，ω取最小值为，故选C. 答案　C 5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析　由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.ω＝＝. 答案　 　　 考向一　作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 【例1】设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝. (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]． 解　(1)周期T＝＝π，ω＝2， f＝cos＝cos＝－sin φ＝， －＜φ＜0，φ＝－. (2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下： 2x－ － 0 π π π x 0 π π π π f(x) 1 0 －1 0 图象如图： (1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可． (2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位． 【训练1】 已知函数f(x)＝3sin，xR. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解　(1)列表取值： x π π π π x－