U0056,2012届华师一附中高一下学期课外综合训练题(十四)--空间直线,平面之间的位置关系--答案.docVIP

高一课外综合训练题（十四） 1. 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝。 (Ⅰ) 证明：SA⊥BC； (Ⅱ) 求直线SD与平面SAB所成角的大小； 解： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面 底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，故，由，，，得，．的面积 ．连结，得的面积 . 设到平面的距离为，由于，得，解得． 设与平面所成角为，则．所以，直线与平面所成的角为． 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； 解：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为 的中点，，．在正方形中， ，平面． （Ⅱ）设与交于点，在平面中，作 于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角． 在中，可求得，又，． 所以二面角的大小为． （Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为． 设点到平面的距离为．由得， ．点到平面的距离为．3．如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。 （Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD ； （Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围； 解：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的 中点，，又底面．．于是平面． 又平面，平面平面． （Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角． 在中，；设，在中， ．，，．又，． 即直线与平面所成角的取值范围为．4. 如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平 面，，且．连结，如图2． （I）证明：平面平面； （II）当，，时，求直线和平面所成的角； 解：（Ｉ）因为平面平面，平面平面,， 平面，所以平面，又平面，所以平面平面． （II）过点作于点，连结．由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角． 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故．因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．由题设，，，则．所以，，，． 因为平面，，所以平面，从而． 故，．又， 由得．故．即直线与平面所成的角是． 图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。 （I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （II）求二面角B—AC—A1的大小； （Ⅲ）求此几何体的体积； 解：（1）作交于，连．则． 因为是的中点， 所以．则是平行四边形，因此 有．平面且平面，则面． （2）如图，过作截面面，分别交，于，． 作于，连．因为面，所以， 则平面．又因为，， ．所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故，即：所求二面角的大小为． （3）因为，所以． ．所求几何体体积为．如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值． 证：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形， 所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而． 所以为直角三角形，．又． 所以平面． （Ⅱ）取中点，连结，由（Ⅰ）知，得． 为二面角的平面角． 由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．7. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,, ，,BC=6。 (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求二面角的大小； 解：（Ⅰ）平面，平面． ．又，． ，，，即．又．平面． （Ⅱ）过作，垂足为，连接．平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，为二面角的平面角． 又，，， 又，，．由得． 在中，，．二面角的大小为．．四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积； 解：（Ⅰ）∵,, 又∵,∴. （Ⅱ）取的中点，则，连结，∵，∴， 从而,作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 从而为二面角的平面角,直线与直线所成的角为,∴. 在中，由余弦定理得； 在中，； 在中，； 在中，，故二面角的平面角大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形， ∴．在四棱锥中，底面，，是的中点． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的大小解：（Ⅰ）在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面．而平面，． （Ⅱ）由，，可得． 是的中点，．由（Ⅰ）知，， 且，所以平面．而平面，．底面在底面内的射影是，，．又，综上得平面