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第一讲 直线方程
知识归纳:
直线的倾斜角与斜率
1、确定直线的几何要素是两点一点和两个独立条与轴相交时,我们取轴作为基准,轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
注意:①从用运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角;
②规定:直线与轴平行或重合时,直线的倾斜角为
③直线倾斜角α的取值范围是:
④在同一直角坐标系下,任何一条直线都有倾斜角且唯一,倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等。
3、直线的斜率:倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,即。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。
注意:一条直线必有一个确定的倾斜角,但不一定有斜率,当时,;当时,;当时,不存在,当时,。 即:斜率的取值范围为
例1、给出下列命题:①若直线倾斜角为,则直线斜率为;②若直线倾斜角为,则直线的倾斜角为;
③直线的倾斜角越大,它的斜率越大;④直线的斜率越大,其倾斜角越大;⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为
例2、已知直线的倾斜角为,且,求直线的斜率
4、直线斜率的坐标公式
经过两点的直线的斜率公式:
注意:①斜率公式与两点的顺序无关,即
②特别地:当时,;此时直线平行于轴或与轴重合;当时,不存在,此时直线的倾斜角为,直线与轴平行或重合。
例3、已知点,求直线的斜率并判断倾斜角的范围。
例4、(三点共线问题)已知三点,证明这三点在同一条直线上
例5、(最值问题)已知实数,满足,当时,求的最大值和最小值
5、直线的方向向量:已知是直线上的两点,直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线与轴不垂直时,,此时,向量也是直线的方向向量,且它的坐标是,即(1,k),其中k为直线的斜率
6、直线的法向量:如果向量与直线垂直,则称向量为直线的法向量。
二、直线的方程
1、定义:一般地,以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上点的坐标都是这个方程的解,这是,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。
2、直线方程的几种形式
(1)点斜式:
问题:若直线经过点,且斜率为k,求直线的方程。
解析:设点是直线上不同于点的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得,可化为,即为过点、斜率为k的直线的方程。
方程是由直线上一点及其斜率确定的,把这个方程叫做直线的点斜式的方程,简称点斜式。
注意:①与是不同的,前者表示直线上缺少一个点,后者才是整条直线;
②当直线的倾斜角为时,,即,这时直线的方程为
③当直线的倾斜角为时,直线斜率不存在,这时直线与轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示,它的方程是。即:局限性是不能表示垂直于轴的直线。
④经过点的直线有无数条,可分为两类情况:
ⅰ、斜率为k的直线,方程为 ⅱ、斜率不存在的直线,方程为或写为
例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程
①经过点,倾斜角,②经过点,斜率为2 ③经过点,且与轴平行
④经过点,且与轴垂直
(2)斜截式:
问题:已知直线的斜率是k,与轴的交点是,代入直线方程的点斜式,得直线的方程,也就是,我们称是直线在轴上的截距。
这个方程是由直线的斜率k和它在轴上的截距确定的,所以叫做直线的斜截式方程,简称斜截式。
注意:① ②局限性:不表示垂直于轴的直线
③斜截式方程和一次函数的解析式相同,都是,但有区别:当斜率不为0时,是一次函数,当时,不是一次函数;一次函数()
必是一条直线的斜截式方程。
例7、求倾斜角是直线的倾斜角的,且在轴上的截距为的直线的方程。
(3)两点式:
问题:已知直线经过两点,求直线的方程
解析:因为直线经过两点,所以它的斜率,代入点斜式,得,当时,方程可以写成
这个方程是由直线上两点确定的,所以叫做直线的两点式方程,简称两点式。
注意:①方程与方程比较,后者比前者表示直线的范围更小了,前者不能表示斜率不存在的直线,后者除此外,还不能表示斜率为0的直线;局限性:不能表示垂直于坐标轴的直线。
②两点式方程与这两个点的顺序无关。
例8、已知点,,求直线的方程
例9、一条光线从点出发,经轴反射,通过点,求入射光线和反射光线所在直线的方程
(4)截距式:
问题:已知直线与轴的交点为,与轴的交点为,其中,求直线的方程。
解析:因为直线经过和两点,将这两点的坐标代入两点式,得,即为
如果直线与轴的交点为,则称为直线在轴上的截距。
以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的,所以叫做直线的截距式方程,简称截距式
注意:方程中,所以它不能表示与坐标轴平行(重合)的直线,还不能表示过原点的直线。
例10、过两点,的直线在轴上的截距为
(5)一般式方程:
以上几种形式的直线方程
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