2009-2010学年高三数学140分突破一轮复习必备精品13.docVIP

第十章空间向量1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ． (4) 向量减法法则： ． (5) 数乘向量法则： ． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a＋b＝ ． (2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ． (3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ． 3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ． 共面向量定理的推论： ． 5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． (2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ． 空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角： ． (2) 空间向量的长度或模： ． (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos〈a、b〉＝ ； (b) (a(2＝ ； (c) ab ． (4) 空间向量的数量积的运算律： (a) 交换律a·b＝ ； (b) 分配律a·(b＋c)＝ ． 例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值. 解：易求得 变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( ) A．(a＋b＋c B．a＋b＋c C．a(b＋c D．(a(b＋c 解：A 例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点， 求证：AB1∥平面C1BD. 证明：记则∴,∴共面. ∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD. 变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN． (1) 求证：MN∥平面FC； (2) 求证：MN⊥AB； (3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 设 (2) (3) 设正方体的边长为a, 也即， 例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心． 求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD． 证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而． 所以AD⊥BC． (2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝． 变式训练3：已知平行六面