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专题．导数及其应用 舟山中学谢建伟 11年12月2日 【高考要求】 从近几年高考卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大，一小的两题格局，命题热点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤导数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数（求切线的斜率）与解析几何相综合的问题。 【知识归纳】 （1）求函数单调区间的步骤为：(ⅰ)确定函数的定义域；(ⅱ)求导数； (ⅲ)解不等式，f(x)的递增区间；解不等式， f(x)的递减区间． （2）求函数极值的步骤：(ⅰ)求导函数；(ⅱ)求函数的零点； (ⅲ)检查在零点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个零点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个零点处取得极小值； （3）函数最值一般可以通过比较特殊值（如极值，端点函数值）而得到． 【典型题例】 【例1】 已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底， 求证 ab＞ba 【例2】设a＞0，求函数f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间. 【例3】设是增函数，证明： 【例4】 画出函数的图象 专题. 导数及其应用 姓名____________ 1 y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) A 0 B 1 C D 3. 若a＞0，f (x) =ax2＋bx＋c，曲线y=f (x)在点P (x，f (x0))切线倾角为[0，]，则P到y=f (x)对称轴距离为（ ） A.[0，] B.[0，] C.[0，||] D.[0，||] 4. 若，，则在区间上最小值是_________ 5 函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_______ 6 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大 7. 已知（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为_________ 8 求函数的导数 (1)y=(x2－2x+3)e2x; ___________________________ (2)y= ___________________________ 9 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1 4 m时，梯子上端下滑的速度 10. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程 11 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间 12 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由 13. 已知曲线C y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标 14. 已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x) (a为实数)， 若f(x)在[-3，-2）上是增函数，求实数a的取值范围， 设f(x)的导函数满足，求出a的值。 15．已知函数 （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围． 16．对于函数，（1）求函数的单调区间； （2）证明连续函数在内只有一个零点． 17．定义域为的偶函数，当时，，方程在上恰有5个不同的实数解. (1) 求时,函数的解析式； （2）求实数的取值范围。 18．已知函数，其中为实常数，设为自然对数的底数。 （1）当时，求的极值； （2）若在区间上的最大值为，求的值； （3）当时，试推断方程是否有实数解。 参考答案 【例1】 已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底， 求证 ab＞ba 证法一 ∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb, 设f(b)=blna－alnb(b＞e),则f′(b)=lna－ ∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0 ∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数， ∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0, ∴blna＞alnb,∴ab＞ba 证法二 要证ab＞b