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多输出逻辑函数密码性质的谱分析 陈卫红周锦君 (郑州信息工程大学应用数学系·郑州450002) ■蔓本文利用有限交换群上函敷的密码性质的特征谱特征讨论了有限城和刺 余羹环上m堆输出的函敷与其对应的Ⅲ个一堆输出的各种函薮密码性质的关 系。 关_调多辅出逻辑函数，特征谱，密码性质，有限域，刺余类环 ： 1．引 言 随着密码的发展，密码函数越来越多地涉及到多输出函数，即p‘G’类型婀函数， 其中G是一个集合。如在D旺s中S．盒子的设计实际上就是Gp(2)一Gp(2)的一个函 数．另外韩上序列也涉及到此类函数。一个m维输出的函效总船对应m十一维输出的函 敦，我们辫在第2节给出有限交换群上函数的特征谱，并讨论函敦密码性质的特征谱特 征，第3书利用函敷的特征谱给出有限域和剩余类环上m维输出的函数与其对应的m十 一维输出的函敷峦码性质的关系，这些密码性质包括平衡性、相关免疫性、满足高阶严格 雪崩准赠和高阶扩散准则、bent函数及线性结构等。 2．函数的特征谱 对于函数的谱表示，许多文章进行了研究t”5M7一u，我们考虑更一般的情形。 设G是一十有限交换群，G上的一个特征z是指G到乘法群c的c’的群同态，其中 c是复粥e域，也就是说z是G到c。的一个映射；且对所有的g，，戤∈G满足z(舒+g：)= z(霉1)z(五)。对于G上的两个特征z。和溉，可定义其乘法，即对任意的g∈G，五憨(g)= 知培)如(F)，显然G上所有特征组成的集台C在这种乘法下构成一个有限交换群，C称为 G的特翟群，且有下面的结论成立。 引瑾l G与其特征群C同构(群同构)。 于是C={矗lg∈G)，其中对于G中的任意元素g，毋，毋，d，6有 矗，+‘。2矗．。矗： (1) 嚣妇+6)一矗(4)矗(6) (2) 矗(O)一1 (3) ‰o)=1 (4) 引理：2设G是一个有限交换群，口=G×…×G，则9的特征群与夺一C×…×e 同掏。 ·217· L———_卜 匿弧丽鹰匿 于是伊={靠lm∈p}，其中如果m=(91．～，舒)∈9，矗=‰．…k，也就是说对于2 =(zl’．．·，矗)∈p，粕(z)=k(z1)…Z‘(南)。 下菌给出函数特征谱的概念． 定义1设G，Ⅳ是两个有限交换群，，是G+H的函数。取定日中的元素^，称 c址．，(埘)=lGl一1∑靠(，(z))‰(。) ￡∈G 为，相对于^的特征变换，其中m∈G，‰b)是靠o)的共轭。称{ch．，(m)Im∈G)为，相 对于^鳍特征谱。 西我，相对于^的特征变换实际上就是函数矗(，扛))的傅里叶变换。函数的许多密 码性质均可用特征谱来表示，这些密码性质包括： (1)平衡性。如果，的真值表中各种取值个数相等，称函数，是平衡的。 (2)相关免疫性。，b)的一个输入均匀且独立，如果，扛)与任意f(】≤t≤n一1)个输 入都统计独立．称布尔函数，是f阶相关免疫的。当，扛)是平衡的且是f