格蕴涵代数的伴随半群中的左映射.pdfVIP

第九届全田多值逻辑与模糊逻辑学术会议 格蕴涵代数的伴箍半群中的左映射 壬学芳。。旅扬 (西南交通大学智托开发中心，四川成都61003I) ■蔓·本文培出了由播‘溜代数诱导出的伴麓半群爰有关概念，详细讨论了伴随半群中的元素印格t涵代 柏枷舳呲廊舢阳悯好唯姆帅棱k旺黼娟闱悯耵籽硼 几十等价条件．-后证明了s缸)是L的一个穗子． 关t胃t播■涵代数：伴髓半群：左映射I漳子 人们对备种集合上的白映射是非常感兴趣的，因为一旦￡g，h是某集合上的自映射．关 于映射的台成o．它们自动地满足结合律．即：(厂og)o^=，o(go^)．如果这些映射都 燕双射，那么它lj或许可以用“群”遮个适宜的抽象曩念来描述；但如果它们不是双射．那 么无可谴免地我们要用“半群”这个概念来描述它们了．正因为半群与映射有如此密切的(来 自结合公理的)联系．所以无论在理论上还是在应用上半群都显得非常重要．近年来，半群 在计算机应用方面，如自动机理论，语言理论和码论中找到了许多有意义的应用． 文【21对格蕴涵代数”臻导出的双格半群、s．格半群和T．格半群进行了研究并借此给出 了格蕴涵代数的一些性质．文【4】对格蕴涵代数的左映射进行了研究，得到了一些根好的结 果。本文在此基础之上，通过对播蕴涵代数诱导出的伴随半群的研究．来刻强格蕴涵代数的 一些性质．进～步认识格蕴涵代数的代数结构． 定义l嘲设H是一个半群，且具有偏序“s’，满足口≤6等船s6c，∞≤c6，V4，6，cEⅣ， 姗称H是一个偏序半群．若半群的乘法遥台交换律．则称此半群为交换台q偏序半群．如果 半群还含有幺元，删称此半群为交换的幺半群． 定义2州设(工’Y，^，’，斗)为格蕴涵代数．对L中的任意一个元素a．L的左自映射f。定义为： Z。(工)=a斗工，对任意的j∈工，称为L的左映射． 定义3H设L为格蕴涵代数，称自映射a：三斗工为正规的．如果似z斗力=x呻口()。． 对任意的x，J，∈工成立。 我们用M(L)记格蕴涵代数的自映射的有限积全体构成的集合．即： ^f(￡)=缸=0。…。f，：Ⅳ，…，vE三)．则(肘(￡)。。，fI)关于映射的合成。作成一个交换幺 半群·其中幺元为，I亏1L．在M(L)还可定义一个偏序“与”：口，，E硝(上)。 群．我们称(Ⅳ(工)o，¨为L的伴随半群．显然，对L的任意非空子集s， 记为M(L)． 由格蕴涵代数的性质很容易得到下面的引理 定理l格蕴涵代数的每一个自映射口∈村(三)都是正规的，即：口@_=x_+口(y)， 对任意的五J，∈上。 定义4设L为格蕴涵代数，口∈Ⅳ(三)．L的子集s(口)=扛∈￡：口(x)=x}， 对任意的口∈—H(￡)一由于口(1)=l，即：l ES@)．故S(口)≠≠。 由定理l直接可得 J，斗z∈Im口。 定理2L为格蕴涵代数，对任意的口∈M(三)，yE上，有x∈Imaj 定理3设L为格蕴涵代数，对任意的口∈村(工)，y∈工，总有：xES幢)jy—x∈S(口)。 证明 因为S@)≠≯，所以对任意的xE 由定理1知 S位)y∈工， 口(y斗x)=y斗口(工)=J，哼xt即y呻x∈S(a)． 引理4设L为格蕴涵代数，对任意的口EM(￡)．总有：s(口)∈Im仁)，s如)nker口={1}． 证明仇∈s0)，则ae)=工!又口(z)∈Im口，故工∈Im口，因此s(口)￡Im缸)。 引理5设L是格蕴涵代数