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关于Hardy-Hilbert不等式的推广 倪旭伟 （绍兴文理学院数学系，浙江，绍兴 312000） 摘 要：本文把Hardy-Hilbert不等式推广成为 , =,其中,0,0,0, 1/r+1/s+1/t=1,r,s,t均大于1,.并应用Young不等式的一种形式的反不等式建立了逆向的不等 式 , , 其中,0,0,0. 关键词：Hardy-Hilbert不等式；权函数；Holder不等式；Young不等式；逆向不等式 引 言 设p1,1/p+1/q=1, ,0,0, 则 /sin(), (1.1) 称(1.1)为Hardy-Hilbert不等式[1]. 近年来,杨必成等对(1.1)作了进一步推广([2],[3]). 设p1,1/p+1/q=1, ,1min(p,q)且 0,0, 则 /sin().(1.2) 设p1,1/p+1/q=1, ,0,0, 则在文[3]中又有 , (1.3) 这里为Euler常数,=0文[4]进一步在证明 , (1.4) 其中,=2arctg(1/-(2n+1)/(n+1)). 本文将Hardy-Hilbert不等式推广到三项的情形,给出如下结论: 定理1 设,0, 0,0,0,01,则 .(1.5) 定理2 设,0,0, 0.若0,0,0, 则 max, . (1.6) 综合定理1、定理2可得到如下不等式 max, . 2 几个引理 引理2.1 设01,定义权函数 =, (N+), 则 = . (2.1) 证明: 因为=在(0,)上非负严格单调递减,所以 , 于是有 = = = 而=在(0,)上非负严格单调递减, 所以，又有 = =. 令， 则=，2=，因此 = = = = =, 所以 =. 引理2.2 设,0,0,0,1/r+1/s+1/t=1,r,s,t 1，则 (2.2) 证明:由[5]得到如下不等式: , (2.3) 其中0, 0. 令 ,其中,0,0,0, 则 两边从k=1到求和得到 =1, , 用依次代替得 . 引理2.3 设 ,, 则 (2.4) 这是Young不等式的一种形式的推广,证明过程详见[6](其实(2.4)也可由上述引理2.2提到的[5]中的不等式(2.3)直接可得). 引理2.4设0,0,0 , 则 max , (2.5) 或者 , (2.6) 证明:设=() , 则 =, =, =. 令===0,得唯一稳定点(),所以在p()的海赛矩阵为 A= = Det(A)=0正定,所以在p()处取得极小值,因此只有在边界上取得最大值.在边界上的取值情况有: ,,, , , ,, . 所以, =()max 所以 max , 用依次代替(2.5) 式中, 可得 , . 3 定理证明 定理1的证明：由引理2.1以及引理2.2 可得 = = = 取=max{,,},那么 = =. .定理2的证明:由引理2.3中(2.4)式可得 ++ ，（3.1） = 又因为有,,,由引理2.4中(2.6)式得 max, 两边对从1到求和, max， . 由(3.1)式可得 max, 所以 max, . 4 致谢 感谢盛宝怀老师的指导． 参考文献 [1] Hardy.G.H, Littlewood.J E, Polya.G. Inequality[M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1952 [2] 杨必成. 关于一个推广的Hardy-Hilbert不等式[J]. 数学年刊,2000,2:247-254 [3] 杨必成，高明哲. 关于Hardy