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孤立子的运动轨迹十 潘祖梁，侯伯元2郑克杰3张隽1 (1浙江大学应用数学系，杭州．310027)(2中国科技大学研究生院物理部，北京，100039) f3浙江省邮电科学研究所．杭州．3l∞14) ■■本文运用代数几何方法．研究孤子解“相互作用”的非线性特性．给出了峰值位 置的坐标(算，f)应满足的代数方程：经数值计算-得到了两支对称于原点的代数曲线：描述 了KdV方程双孤子解Ⅱ(J，r)的峰值从f=—∞到f=+∞演化过程，特别是“相互作用” 强区域的演化过程． 关■啊Kdv方程，代数几何，孤立子运动轨迹． 将Kdv方程的双孤波解诠释为双孤子系统的演化过程，这在孤立子理论里是关键的 事情．在zabu出y和lo．Ilskal的原始文献里，给出了双孤波(他们命名为孤立子)“相互 作用”的定性描述…：设f=—一时有速度分别为h和虹的两个孤立波喁和％，女』b， 高波即儡．波在后，矮波即％．波在前，随着r的增加，啦．波会追上％一波，进入“相互 作用”区域，他们的结论是：若k，b，吼-波先“并吞”a，一波，后“吐出”。c：一波， f=0时出现单峰：若七1；k，喁．波靠近％．波时，岛．波变矮(速度变慢)，同时％． 波变高(速度变快)，但仍有二个峰值，“相互作用”后，％．波和％一波互换角色，即％一 波成为快波，强．波成为慢波，随着时间的推移．两峰值之间的距离越来越大．对于tJ和 也接近到什么程度才不会出现单峰，他们没有给出定量的描述．LⅡ对这个阔题作了进一 步的研究，给出了出现单峰的条件：f鲁丁三6+打)．当f鲁]2三e+压)时，对 任意时间f均有双峰存在”1．他们的研究均未涉及使“取峰值的点在工一f平面上的运动轨 迹问题． 本文利用由B∞Hund变换得到的双孤子解的表达式，导出使““f)取极值的葺f应满 足的代数曲线方程(1)．若我们将峰值所在的位置理解为孤立子，则利用代数曲线方程 (1)和数值计算，可以得到双孤子的运动轨迹是两条对称于原点的代数曲线．该运动轨 迹实际上描述了Kdv方程双孤子解从f=—一到t=+*的全部演化过程，特别是“相互 作用”强区域的演化过程． 我们仍以Kdv方程的双孤子解为例，利用B∞klund变换的结果9J： ～2(碍一砰) ∞=—o±—』 七2∞2一毛∞I ’国家自然科学基金和浙江省自然科学基金资助项目 147 i} 一”———”————————’——一 式中的q可取旃m或cm仉m=‘工一4七知 f=l，2 则Kdv方程的双孤子解 …，钺争啪≮著≯ H，=∞。，=器{(女：一七?)2+【≈：吐(2女?一尼；)一毛∞，(2女；一≈?)】 ×(七2∞2一七l∞I)+毛七2∞l∞2(女2n2一毛m1)2)． 设t2毛，取q=m叼1，吡=咖仉，对固定的b，考虑“的峰值，由 芸(上，％)=o得∞l，∞2应满足的关系式 搬 (七?一女；)2+【(2砰一七；)七2∞：一(2七；一≈?)女．∞．】(女：∞：一‘∞。) +毛七2∞l∞2(t2∞2一≈1∞1)2=0． 引入参变量A=七2∞2一q∞I，则式(1)成为 女?牙∞?+t，A[矿一3(t?一J}?)】∞。+(t；一t?)2+牙(2t?一足；)=o 因^≠O，由式(2)解得 ”去∞；一t12)_岔±厅}， (3) 铲去∞：一t卜卯±厅)． (4) 其中 ，=一一2@；+忌?)驴+5(七；一≈?)2． 多项式，的判别式 △=一16【七；一3砰≈；+七?】． △=0的两个实根为 ㈤=扣西 当等扣厩……懈是 ^：{(≈：+t?)一