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函数专题二——求函数解析式 高一数学组 陈鑫 教学目标：使学生明确待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，并会用这些方法求函数解析式教学重点：函数解析式的求法：凑配法、换元法、待定系数法、方程法等。 教学难点：换元法与配凑法求函数解析式教学方法：讲练结合法学生已熟悉用待定系数法求一次、二次函数解析式，但用换元法和配凑法求函数解析式并不熟悉，特别是求出函数解析式后要注明函数定义域易被学生忽视，所以通过讲、练要解决好这些问题，特别要使学生明确函数定义域是函数概念中重要组成部分。教学设计：新课引入→?用待定系数法求函数解析式→?用换元法与配凑法求函数解析式→?课时小结→?随堂练习教学过程：1、新课引入：①复习提问：求函数定义域的关键是什么？函数三要素是什么？（求函数定义域的关键是确定使函数有意义的条件。函数三要素是定义域、对应法则和值域）②导入新课：如何根据条件，求出函数对应法则即函数解析式是函数又一重要问题。板书课题：《求函数解析式》2、配凑法求函数解析式 通过配凑成适当的形式，寻求函数的对应法则和定义域。 已知f(2x－1)=4x+1,1＜x≤3,求函数f(x). 解析：∵f(2x－1)=4x+1 ∴f(2x－1)=2(2x－1)+3 函数好比一台机器，放入一个自变量，通过对应法则的作用，生产出唯一的函数值。这里，放入2x－1，得到了2(2x－1)+3。所以对应法则是：2×自变量+3 ∴f(x)=2x+3 只有对应法则还不够，定义域是函数的另一个要素。求定义域，我们应该关注以上过程中“放入机器的原材料”2x－1的范围。 ∵1＜x≤3 ∴1＜2x－1≤5 ∴f(x)=2x+3，1＜x≤5 说明：该问题与下面这个更常见的问题恰好相反： 已知：f(x)=2x+3，1＜x≤5,计算f(2x－1)，并标明相应x的取值范围。 可以看到，以上过程实质上是将f(2x－1)中的2x－1看作一个整体。因此，也可以使用换元法优化上述解答过程。 3、换元法求函数解析式 题目同例1：已知f(2x－1)=4x+1,1＜x≤3,求函数f(x). 解：令t=2x－1,则1＜t≤5且。代入已知等式得： ∴所求函数为f(x)=2x+3，1＜x≤5 说明：解题过程中容易漏掉定义域导致出错，应予以重视。有时试卷上也会单独考察定义域，比如例1可摇身变为： 已知f(2x－1)的定义域为,求函数f(x)的定义域. 只要弄清楚上面的解题过程，解这样的问题就不会出错了。 3、待定系数法求函数解析式 只要清楚函数解析式的类型，就可以设出函数解析式，再设法求出其中的系数。 已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求f(x). 解：∵f(x) 一次函数 ∴设f(x)=ax+b 从而f[f(x)]= af(x)+b= a(ax+b)+b=a2x+ab+b 又已知f[f(x)]=4x+3，比较得： ∴f(x)=2x+1或 f(x)=－2x－3 思考：如果题目中已知f(x)是二次函数，可设f(x)= 已知二次函数f(x)两根为2和3，可设f(x)= 4、方程组法求函数解析式 如果函数f(x)满足方程，求。 解：∵ ① 将x换成，则换成x，得： ② 把当作未知数，由①②解方程组得： 5．特殊值法求函数解析式 例5：设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(y －x)=f(x)－y(2x－y+1).求f(x)的表达式。 解：取x=0得：f(y)=f(0)－y(－y+1)=1+y2－y= y2－y+1 ∴f(x)=x2－x+1 练习：1.已知f(x+2)=x2－3x+5,则f(x)= 2.已知f(2x)=x2－3x+5,则f(x)= 3.如果,则f(x)= 4.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)－2f(x－1)=2x+17,则f(x)= 5.已知f(x)是二次函数,且满足f(x+1)+f(x－1)=2x2－4x+4,则f(x)= 6.已知2f(x)+3f(－x)=3x, 则f(x)= 7.已知2f(4x－3)+3f(3－4x)=3x, 则f(x)=