Cantor集的性质.pdfVIP

Cantor §1 Cantor 1 1 E0 = [0, 1] , E1 E0 3 1 2 1 2 ( , ) , E1 [0, ] [ , 1] , 3 3 3 3 1 2 1 . ( , ) . 3 3 3 E2 , E2 4 ( 2 ) [0, 1], [ 2 , 1], [ 2 , 7 ], [ 8 , 1] , 9 9 3 3 9 9 2 . , k , Ek . 2k 3−k ( k ) , 2k−1 3−k k . C = k≥1 Ek . C Cantor . 1 C ℄. 1 1 Cantor 2 C 2 C . 3 x ∈ [0, 1] 3- x = .x x · · · x · · · , x ∈ {0, 1, 2}, n ≥ 1, 1 2 n n C = {x ∈ [0, 1]| x = .x x · · · x · · · , x ∈ {0, 2}, n ≥ 1}, 1 2 n n Cantor 3- 0 2 . 4 C ℄. 5 2k k 2 1 2 1 2 ε1 + ε2 + · · · + ( )k−1 εk , 3 3 3 3 3 εj 0 1 C 2 1 2 1 2 ε1 + ε2 + · · · + ( )k−1 εk + · · · , 3 3 3 3 3 εj 0 1 1 §2 Cantor Cantor 1 E0 = [0, 1] , E1 E0 ε(0 varepsilon 1/2) , E1 [0, (1 − varepsilon)/2] (1 + ε)/2, 1] , . . ε2 , E2 4 ( 2 ) , 2 . , k , Ek . 2k ( k ) , 2k−1 ε−k k . Cε = k≥1 Ek . ε = 1/3 Cantor Cε [0, 1] \ Cε 2 k−1 k ε ε